Um toróide com raio interno de 1 cm e raio externo de 2 cm tem 1000 voltas e transporta i=1.5 A. (a) Qual é o campo magnético a uma distância de 1.5 cm do centro? (b) Qual é o campo magnético a uma distância de 2.5 cm do centro?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um toróide, que é tipo uma bobina em forma de rosquinha, com raio interno de 1 cm e raio externo de 2 cm. Ele tem 1000 voltas e está transportando uma corrente de 1,5 A. A gente precisa descobrir o campo magnético a duas distâncias diferentes do centro desse toróide: uma dentro dele (1,5 cm) e outra fora dele (2,5 cm). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa através de uma trajetória fechada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Lei de Ampère. Ela diz que a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual ao produto da permeabilidade magnética do vácuo (μ₀) e a corrente total que passa pelo caminho. A fórmula é:
oint B cdot dl = mu0 Ienc
Onde:
  • é o campo magnético,
  • é um elemento de comprimento do caminho,
  • é a corrente encerrada pelo caminho.

Passo 3

Vamos começar com a parte (a): encontrar o campo magnético a 1,5 cm do centro. Como 1,5 cm está entre 1 cm e 2 cm, está dentro do corpo do toróide onde as voltas estão distribuídas. Precisamos calcular a corrente efetivamente encerrada pelo nosso caminho de Ampère.

Passo 4

O toróide tem 1000 voltas distribuídas uniformemente entre 1 cm e 2 cm. A densidade de voltas por unidade de comprimento ( Cm = 2pi r ) pode ser calculada dividindo o número total de voltas pela circunferência média do toróide. A circunferência média ( ) é:
Onde é a distância do centro. No nosso caso, .

Passo 5

Calculando Cm = 2pi times 1,5 cm = 3pi cm :
n = NCm = 10003pi approx 10009,4248 approx 106,1 vo
Agora, a densidade de voltas por unidade de comprimento:

Passo 6

A corrente total encerrada pelo caminho de Ampère ( ) é o produto da densidade de voltas ( ), a corrente por volta ( ) e o comprimento do caminho. Como estamos calculando para uma volta, . Porém, como nosso caminho é circular e simétrico, isso simplifica a aplicação da Lei de Ampère.

Passo 7

Aplicando a Lei de Ampère:
B times 2pi r = mu0 n i times 2pi r
Simplificando, percebemos que:
B = mu0 n i
Substituindo os valores:
mu0 = 4pi times 10^-7 T·m/A
Mas como nossas unidades estão em cm, vamos converter para metros:
n = 106,1 vo

Passo 8

Agora, substituindo na fórmula:
B = 4pi times 10^-7 times 10610 times 1,5
Vamos calcular passo a passo:
  1. B = 1,2566 times 10^-6 times 15915 approx 0,02 T
  2. Multiplicando tudo:

Passo 9

Agora, para a parte (b), queremos o campo magnético a 2,5 cm do centro, ou seja, fora do toróide. Para um toróide idealmente perfeito, o campo magnético fora dele é praticamente zero porque as linhas de campo se fecham dentro do toróide. Apesar de termos raios interno e externo, 2,5 cm está claramente fora do toróide.

Passo 10

Portanto, usando a Lei de Ampère novamente, como não há corrente encerrada pelo caminho de 2,5 cm (já que está fora do toróide), o campo magnético nesse ponto é:
B = 0 T

Resposta

(a) O campo magnético a 1,5 cm do centro é aproximadamente 0,02 T.
(b) O campo magn��tico a 2,5 cm do centro é 0 T.

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