Um toróide com raio interno de 1 cm e raio externo de 2 cm tem 1000 voltas e transporta
. (a) Qual é o campo magnético a uma distância de 1.5 cm do centro? (b) Qual é o campo magnético a uma distância de 2.5 cm do centro?
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um toróide, que é tipo uma bobina em forma de rosquinha, com raio interno de 1 cm e raio externo de 2 cm. Ele tem 1000 voltas e está transportando uma corrente de 1,5 A. A gente precisa descobrir o campo magnético a duas distâncias diferentes do centro desse toróide: uma dentro dele (1,5 cm) e outra fora dele (2,5 cm). Para resolver isso, vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético com a corrente que passa através de uma trajetória fechada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a Lei de Ampère. Ela diz que a circulação do campo magnético ao longo de um caminho fechado é igual ao produto da permeabilidade magnética do vácuo (μ₀) e a corrente total que passa pelo caminho. A fórmula é:
Onde:
-
é o campo magnético, -
é um elemento de comprimento do caminho, -
é a corrente encerrada pelo caminho.
Passo 3
Vamos começar com a parte (a): encontrar o campo magnético a 1,5 cm do centro. Como 1,5 cm está entre 1 cm e 2 cm, está dentro do corpo do toróide onde as voltas estão distribuídas. Precisamos calcular a corrente efetivamente encerrada pelo nosso caminho de Ampère.
Passo 4
O toróide tem 1000 voltas distribuídas uniformemente entre 1 cm e 2 cm. A densidade de voltas por unidade de comprimento (
) pode ser calculada dividindo o número total de voltas pela circunferência média do toróide. A circunferência média (
) é:
Onde
é a distância do centro. No nosso caso,
.
Passo 5
Calculando
:
Agora, a densidade de voltas por unidade de comprimento:
Passo 6
A corrente total encerrada pelo caminho de Ampère (
) é o produto da densidade de voltas (
), a corrente por volta (
) e o comprimento do caminho. Como estamos calculando para uma volta,
. Porém, como nosso caminho é circular e simétrico, isso simplifica a aplicação da Lei de Ampère.
Passo 7
Aplicando a Lei de Ampère:
Simplificando, percebemos que:
Substituindo os valores:
Mas como nossas unidades estão em cm, vamos converter para metros:
Passo 8
Agora, substituindo na fórmula:
Vamos calcular passo a passo:
-
-
- Multiplicando tudo:
Passo 9
Agora, para a parte (b), queremos o campo magnético a 2,5 cm do centro, ou seja, fora do toróide. Para um toróide idealmente perfeito, o campo magnético fora dele é praticamente zero porque as linhas de campo se fecham dentro do toróide. Apesar de termos raios interno e externo, 2,5 cm está claramente fora do toróide.
Passo 10
Portanto, usando a Lei de Ampère novamente, como não há corrente encerrada pelo caminho de 2,5 cm (já que está fora do toróide), o campo magnético nesse ponto é:
Resposta
(a) O campo magnético a 1,5 cm do centro é aproximadamente 0,02 T.
(b) O campo magn��tico a 2,5 cm do centro é 0 T.
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-
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