Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
23. O astróide (Figura 5.30)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar a fórmula da área pelo Teorema de Green para encontrar a área da região delimitada pela curva do asteroide, que é dada por para . Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para calcular essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Para calcular a área usando o Teorema de Green, podemos usar a fórmula:
Aqui, e são funções de , já que a curva está parametrizada.

Passo 3

Vamos identificar e a partir da parametrização:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a :

Passo 4

Substituindo , , e na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:

Passo 5

Podemos fatorar o 3 e reescrever a expressão:
Observando que , e sabendo que , a expressão simplifica para:

Passo 6

Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, precisamos calcular a integral de . Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:

Passo 8

Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para :

Resposta

A área da região delimitada pela curva do asteroide é unidades de área.

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15.
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Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: