Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
23. O astróide (Figura 5.30)
23. O astróide (Figura 5.30)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar a fórmula da área pelo Teorema de Green para encontrar a área da região delimitada pela curva do asteroide, que é dada por
para
. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green para calcular essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região delimitada por essa curva. Para calcular a área
usando o Teorema de Green, podemos usar a fórmula:
Aqui,
e
são funções de
, já que a curva está parametrizada.
Passo 3
Vamos identificar
e
a partir da parametrização:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na fórmula da área, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Passo 5
Podemos fatorar o 3 e reescrever a expressão:
Observando que
, e sabendo que
, a expressão simplifica para:
Passo 6
Para facilitar a integração, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, precisamos calcular a integral de
. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 8
Substituindo o resultado da integral de volta na expressão para
:
Resposta
A área da região delimitada pela curva do asteroide é
unidades de área.
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22. A elipse
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Trabalho
Nos exercicios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por para mover una particula uma vez no sentido anti-horário ao redor da curva dada.
15.
C: A fronteira da região
Nos exercicios 15 e 16, encontre o trabalho realizado por
15.
C: A fronteira da região
Use a fórmula da área dada pelo Teorema de Green (equação (13)) para encontrar as áreas das regiōes limitudas pelas curras nos axercicior
24. A curva (ver figura a seguir):
24. A curva
Calcule a derivada de cada uma das funções abaixo: