TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA TÉRMICA - Um certo objeto de massa
e calor específico
possui temperatura inicial
. Ele está exposto ao ambiente, que por sua vez possui temperatura
. O objeto se resfria através de processos complexos e a lei que governa tal resfriamento é dada por
, em que
corresponde à área superficial do objeto e
à temperatura num instante
(
também é uma constante). a) Obtenha a temperatura deste objeto em função do tempo, ou seja,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto com massa
e calor específico
que começa com uma temperatura inicial
. Esse objeto está no ambiente com temperatura
e está esfriando. A lei que descreve esse resfriamento é dada por:
Aqui,
é a área superficial do objeto e
é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a temperatura do objeto ao longo do tempo, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor e equações diferenciais. Vamos passo a passo para não complicar!
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar a quantidade de calor
com a temperatura
. A quantidade de calor armazenada no objeto pode ser expressa por:
Aqui,
é a massa e
é o calor específico. Agora, vamos derivar
em relação ao tempo para relacionar com a equação fornecida.
Passo 3
Derivando a expressão de
em relação ao tempo
:
Agora, temos duas expressões para
. Podemos igualá-las:
Passo 4
Vamos isolar
para obter uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
para integrar.
Passo 5
Vamos separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre
e
.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
A integral do lado esquerdo é:
E a do lado direito é:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
.
Passo 7
Igualando as integrais e resolvendo para
:
Agora, vamos determinar a constante
usando a condição inicial
.
Passo 8
Aplicando a condição inicial
,
:
Substituindo
de volta na equação:
Passo 9
Vamos resolver para
:
Agora, vamos inverter os dois lados para encontrar
.
Passo 10
Invertendo os dois lados:
Finalmente, isolamos
:
Resposta
A temperatura do objeto em função do tempo é dada por:
Exercícios relacionados
TRABALHO, CALOR E DIAGRAMA PV - Um volume de 4 litros de gás ideal diatômico está, inicialmente, a 300 K e 200 kPa . Após sofrer uma expansão isotérmica até uma pressão de 100 kPa e mais outra isobárica até seu volume ser 10 litros (com temperatura final de 260 K ), perguntase: c) Calcule o trabalho na etapa isotérmica,
TRABALHO, CALOR E DIAGRAMA PV - Um volume de 4 litros de gás ideal diatômico está, inicialmente, a 300 K e 200 kPa . Após sofrer uma expansão isotérmica até uma pressão de 100 kPa e mais outra isobárica até seu volume ser 10 litros (com temperatura final de 260 K ), perguntase: a) Calcule o número de mols deste gás.
SOBRE O TRABALHO - Diferentemente do gás ideal, a energia interna do gás de van der Waals também depende do volume e pode ser escrita como
, em que
e
são constantes. a) Faça a análise dimensional dessas duas constantes (utilize tudo no SI).
TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA TÉRMICA - Um certo objeto de massa
e calor específico
possui temperatura inicial
. Ele está exposto ao ambiente, que por sua vez possui temperatura
. O objeto se resfria através de processos complexos e a lei que governa tal resfriamento é dada por
, em que
corresponde à área superficial do objeto e
à temperatura num instante
(
também é uma constante). c) Esboce duas curvas (no mesmo sistema de eixos) da função
para dois objetos de massas e calor específicos iguais, porém com áreas
e
(explicite seus cálculos).