TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA TÉRMICA - Um certo objeto de massa e calor específico possui temperatura inicial . Ele está exposto ao ambiente, que por sua vez possui temperatura . O objeto se resfria através de processos complexos e a lei que governa tal resfriamento é dada por , em que corresponde à área superficial do objeto e à temperatura num instante ( também é uma constante). a) Obtenha a temperatura deste objeto em função do tempo, ou seja, .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um objeto com massa e calor específico que começa com uma temperatura inicial . Esse objeto está no ambiente com temperatura e está esfriando. A lei que descreve esse resfriamento é dada por:
Aqui, é a área superficial do objeto e é uma constante. Nosso objetivo é encontrar a temperatura do objeto ao longo do tempo, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de transferência de calor e equações diferenciais. Vamos passo a passo para não complicar!

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar a quantidade de calor com a temperatura . A quantidade de calor armazenada no objeto pode ser expressa por:
Aqui, é a massa e é o calor específico. Agora, vamos derivar em relação ao tempo para relacionar com a equação fornecida.

Passo 3

Derivando a expressão de em relação ao tempo :
Agora, temos duas expressões para . Podemos igualá-las:

Passo 4

Vamos isolar para obter uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação diferencial separável, o que significa que podemos separar as variáveis e para integrar.

Passo 5

Vamos separar as variáveis:
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração nos ajudará a encontrar uma relação entre e .

Passo 6

Integrando o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
A integral do lado esquerdo é:
E a do lado direito é:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante .

Passo 7

Igualando as integrais e resolvendo para :
Agora, vamos determinar a constante usando a condição inicial .

Passo 8

Aplicando a condição inicial , :
Substituindo de volta na equação:

Passo 9

Vamos resolver para :
Agora, vamos inverter os dois lados para encontrar .

Passo 10

Invertendo os dois lados:
Finalmente, isolamos :

Resposta

A temperatura do objeto em função do tempo é dada por:

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