Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o operador linear , definido por , é diagonalizável. Para isso, vamos precisar entender sobre matrizes, autovalores e autovetores, que são ferramentas chave na álgebra linear para verificar a diagonalização.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador por uma matriz. Como atua em , a matriz será 3x3. Aplicando nos vetores da base canônica , e :
Assim, a matriz de é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autovalores de A - lambda I = 1 - lambda & 1 & 0 0 & -1 - lambda & 0 0 & 0 & 1 - lambda . Para isso, resolvemos o determinante det(A - lambda I) = (1 - lambda)(-1 - lambda)(1 - lambda) , onde = (1 - lambda)^2 (-1 - lambda) é a matriz identidade e (1 - lambda)^2 (-1 - lambda) = 0 representa os autovalores.
Calculando o determinante:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .
Passo 4
Vamos verificar se há uma base de autovetores, ou seja, se a soma das dimensões dos espaços próprios é igual a 3.
Isso implica . Então, os autovetores são da forma , ou seja, o espaço próprio tem dimensão 2.
Para :
Resolvemos :
Isso implica e , então e . Portanto, os autovetores são da forma , e o espaço próprio tem dimensão 1.
Passo 5
Como a soma das dimensões dos espaços próprios é , que é igual à dimensão do espaço , isso significa que possui uma base de autovetores. Portanto, o operador é diagonalizável.