Qual é a transformada de Laplace de
?
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a transformada de Laplace da função
. A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar saber a definição da função hiperbólica cosseno,
, e como aplicar a transformada de Laplace nessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica cosseno,
. Ela é definida por:
Isso significa que podemos reescrever
como a média de duas exponenciais, uma com expoente positivo e outra com expoente negativo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace à função
. A transformada de Laplace de uma função
é definida por:
Como
é a média de duas exponenciais, podemos aplicar a linearidade da transformada de Laplace:
Passo 4
Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
Aplicando isso às duas exponenciais:
Passo 5
Substituindo essas transformadas na expressão anterior:
Vamos simplificar essa expressão:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Portanto, a alternativa correta é a letra d).