Qual é a transformada de Laplace de cosh(a t) ?
a) s^2/(s^2+a^2)
b) a^2 / (s^2 + a^2)^2
c) a^2 / (s^2 - a^2)^2
d) s/(s^2-a^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre a transformada de Laplace da função . A transformada de Laplace é uma ferramenta muito útil em matemática e engenharia para resolver equações diferenciais. Para resolver esse problema, vamos precisar saber a definição da função hiperbólica cosseno, , e como aplicar a transformada de Laplace nessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função hiperbólica cosseno, . Ela é definida por:
Isso significa que podemos reescrever como a média de duas exponenciais, uma com expoente positivo e outra com expoente negativo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a transformada de Laplace à função . A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por:
Como é a média de duas exponenciais, podemos aplicar a linearidade da transformada de Laplace:

Passo 4

Sabemos que a transformada de Laplace de é:
Aplicando isso às duas exponenciais:

Passo 5

Substituindo essas transformadas na expressão anterior:
Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A transformada de Laplace de é:
Portanto, a alternativa correta é a letra d).

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