Para as transformadas de Laplace mostradas abaixo, encontre sua inversa (Escolher um para entregar).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função no domínio de
, que é a Transformada de Laplace, e precisamos encontrar a sua transformada inversa, ou seja, voltar para o tempo. O conteúdo aqui envolve Transformadas de Laplace e, possivelmente, decomposição em frações parciais para facilitar a inversão. Vamos precisar lembrar das propriedades da Transformada de Laplace e de como identificar funções conhecidas na tabela de transformadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Para encontrar a transformada inversa, uma boa estratégia é simplificar essa fração. Vamos começar fatorando o denominador para ver se podemos simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar o denominador
. Observando os coeficientes, percebemos que ele pode ser fatorado como:
E o termo quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fica:
Passo 4
Agora, nossa função
fica:
Vamos dividir o numerador por
. Para simplificar, podemos escrever
e expandir o numerador.
Passo 5
Vamos reescrever o numerador substituindo
:
Substituindo na expressão
, temos:
Expandindo isso:
Simplificando:
Passo 6
Agora, podemos escrever
como:
Simplificando cada termo:
Passo 7
Agora, podemos aplicar a tabela de transformadas inversas de Laplace. Sabemos que:
Aplicando essas propriedades:
Passo 8
Simplificando os termos:
Podemos fatorar
:
Resposta
A transformada inversa de
é: