Para as transformadas de Laplace mostradas abaixo, encontre sua inversa (Escolher um para entregar).
G(s) = (s^2 + 10s + 2) / (s^3 + 12s^2 + 48s + 64)

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma função no domínio de , que é a Transformada de Laplace, e precisamos encontrar a sua transformada inversa, ou seja, voltar para o tempo. O conteúdo aqui envolve Transformadas de Laplace e, possivelmente, decomposição em frações parciais para facilitar a inversão. Vamos precisar lembrar das propriedades da Transformada de Laplace e de como identificar funções conhecidas na tabela de transformadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dada:
Para encontrar a transformada inversa, uma boa estratégia é simplificar essa fração. Vamos começar fatorando o denominador para ver se podemos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador . Observando os coeficientes, percebemos que ele pode ser fatorado como:
E o termo quadrático pode ser fatorado ainda mais:
Então, o denominador fica:

Passo 4

Agora, nossa função fica:
Vamos dividir o numerador por . Para simplificar, podemos escrever e expandir o numerador.

Passo 5

Vamos reescrever o numerador substituindo :
Substituindo na expressão , temos:
Expandindo isso:
Simplificando:

Passo 6

Agora, podemos escrever como:
Simplificando cada termo:

Passo 7

Agora, podemos aplicar a tabela de transformadas inversas de Laplace. Sabemos que:
Aplicando essas propriedades:

Passo 8

Simplificando os termos:
Podemos fatorar :

Resposta

A transformada inversa de é:

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