Para as transformadas de Laplace mostradas abaixo, encontre sua inversa (Escolher um para entregar).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função no domínio de Laplace, que é:
O objetivo é encontrar a transformada inversa de Laplace dessa função, ou seja, descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a . Para isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e conhecer algumas transformadas inversas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador da função . Observamos que temos:
Então, podemos reescrever como:
Simplificando o coeficiente 4:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador . Para isso, podemos fatorar o 2:
Essa expressão quadrática não possui raízes reais, então vamos completar o quadrado:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Mas para facilitar a decomposição, mantemos a forma quadrática:
Passo 4
Agora, vamos escrever a função de forma que possamos aplicar a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a decomposição em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum :
Passo 6
Agora, vamos expandir e agrupar os termos:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .
Passo 8
Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Agora, encontramos . Vamos encontrar e :
Passo 9
Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar um pouco mais:
Passo 10
Agora, para encontrar a transformada inversa de Laplace, vamos analisar cada termo separadamente.
Para o segundo termo:
Sabemos que:
Então,
Para o primeiro termo:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos o numerador para combinar com isso:
Então, temos:
Agora, usamos as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando isso:
Passo 11
Agora, unimos todas as partes para obter a função no domínio do tempo: