Para as transformadas de Laplace mostradas abaixo, encontre sua inversa (Escolher um para entregar).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função no domínio de Laplace, que é:
O objetivo é encontrar a transformada inversa de Laplace dessa função, ou seja, descobrir qual função no domínio do tempo corresponde a . Para isso, vamos precisar usar a decomposição em frações parciais e conhecer algumas transformadas inversas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da função . Observamos que temos:
Então, podemos reescrever como:
Simplificando o coeficiente 4:

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador . Para isso, podemos fatorar o 2:
Essa expressão quadrática não possui raízes reais, então vamos completar o quadrado:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Mas para facilitar a decomposição, mantemos a forma quadrática:

Passo 4

Agora, vamos escrever a função de forma que possamos aplicar a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:

Passo 5

Agora, vamos aplicar a decomposição em frações parciais. Assumimos que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum :

Passo 6

Agora, vamos expandir e agrupar os termos:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar , e .

Passo 8

Primeiro, da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, substituímos na terceira equação:
Agora, encontramos . Vamos encontrar e :

Passo 9

Agora que temos os valores de , e , podemos escrever a decomposição em frações parciais:
Podemos simplificar um pouco mais:

Passo 10

Agora, para encontrar a transformada inversa de Laplace, vamos analisar cada termo separadamente.
Para o segundo termo:
Sabemos que:
Então,
Para o primeiro termo:
Primeiro, completamos o quadrado no denominador:
Então, reescrevemos o numerador para combinar com isso:
Então, temos:
Agora, usamos as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando isso:

Passo 11

Agora, unimos todas as partes para obter a função no domínio do tempo:

Resposta

A transformada inversa de Laplace de é:

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,
Determine a derivada da função composta a seguir:
Utilizando a definição da transformada de Laplace (integral), determine a transformada das funções a seguir para . (Escolher dois para entregar).