Utilizando a definição da transformada de Laplace (integral), determine a transformada das funções a seguir para
. (Escolher dois para entregar).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a transformada de Laplace da função
para
. A matéria que vamos usar aqui é a transformada de Laplace, especificamente a definição dela usando uma integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular uma integral que envolve funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada pela integral:
No nosso caso,
, então a transformada fica:
Passo 3
Agora, vamos focar em resolver essa integral. A integral que temos é:
Para resolver essa integral, podemos usar uma técnica de cálculo conhecida como integração por partes ou utilizar uma fórmula padrão de integrais envolvendo funções exponenciais e senoidais.
Passo 4
Vamos usar uma fórmula padrão para facilitar. Sabemos que:
No nosso caso,
e
. Então, aplicando a fórmula:
Agora, vamos avaliar essa expressão de
até
:
Quando
tende ao infinito,
tende a zero (desde que
), então a parte no infinito desaparece. Avaliando em
:
Portanto:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é:
Exercícios relacionados
Determine a derivada da função composta a seguir:
Para as transformadas de Laplace mostradas abaixo, encontre sua inversa (Escolher um para entregar).
Determine a transformada de Laplace das funções a seguir utilizando a tabela. (Escolher três para entregar).