Utilizando a definição da transformada de Laplace (integral), determine a transformada das funções a seguir para . (Escolher dois para entregar).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar a transformada de Laplace da função para . A matéria que vamos usar aqui é a transformada de Laplace, especificamente a definição dela usando uma integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição da transformada de Laplace e calcular uma integral que envolve funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada pela integral:
No nosso caso, , então a transformada fica:

Passo 3

Agora, vamos focar em resolver essa integral. A integral que temos é:
Para resolver essa integral, podemos usar uma técnica de cálculo conhecida como integração por partes ou utilizar uma fórmula padrão de integrais envolvendo funções exponenciais e senoidais.

Passo 4

Vamos usar uma fórmula padrão para facilitar. Sabemos que:
No nosso caso, e . Então, aplicando a fórmula:
Agora, vamos avaliar essa expressão de até :
Quando tende ao infinito, tende a zero (desde que ), então a parte no infinito desaparece. Avaliando em :
Portanto:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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Determine a derivada da função composta a seguir:
Para as transformadas de Laplace mostradas abaixo, encontre sua inversa (Escolher um para entregar).
Determine a transformada de Laplace das funções a seguir utilizando a tabela. (Escolher três para entregar).