Transforme a equação para coordenadas esféricas: x^2 - 4z^2 + y^2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na questão: você precisa transformar a equação para coordenadas esféricas. Isso envolve entender como as coordenadas cartesianas (x, y, z) se relacionam com as coordenadas esféricas . Vamos precisar das fórmulas de conversão entre esses sistemas de coordenadas para fazer essa transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para esféricas. As relações são:
Onde:
  • r é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z),
  • phi é o ângulo azimutal (medido no plano xy a partir do eixo x).

Passo 3

Agora, vamos substituir essas expressões na equação original :
Explicando, estamos substituindo cada variável cartesianas pelas suas equivalentes em esféricas.

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
Note que todos os termos têm r^2, então podemos fatorar ele:

Passo 5

Perceba que , então podemos simplificar ainda mais:
Como r^2 não pode ser negativo, a parte dentro do parêntese precisa ser zero:

Passo 6

Vamos isolar os termos:
Dividindo os dois lados por (e lembrando que ):
Então:

Resposta

Em coordenadas esféricas, a equação se transforma em:

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