Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular. 2 x^2 + 2 y^2 + 2 x - 6 y + 3 = 0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação no sistema de coordenadas retangular, que é aquela que usa e pra definir pontos no plano. A tarefa aqui é a gente transformar essa equação para o sistema de coordenadas polares, que usa e . Pra isso, a gente vai precisar saber as relações entre esses dois sistemas de coordenadas e como substituir e por e na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como passar de coordenadas retangulares para polares. As relações que usamos são:
Além disso, também sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na equação original usando essas relações. A equação que temos é:
Vamos substituir por e por .

Passo 4

Fazendo as substituições, a equação fica:
Agora, vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular os quadrados:

Passo 6

Perceba que pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica . Então:
Então a equação agora é:

Passo 7

Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:

Passo 8

Agora, agrupamos os termos que contêm :

Passo 9

Essa é a equação no sistema de coordenadas polares. Não precisa simplificar mais, a menos que queiramos resolver para , mas geralmente deixamos assim para representar a equação no sistema polar.

Resposta

A equação no sistema de coordenadas polares é:

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Determine a derivada das seguintes funções:
f(x) = 1/x
Determine a derivada das seguintes funções:
f(x) = x^(-2)
Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular. x y = 2.
Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular. sen^2(θ) - 4 r cos^3(θ) = 0.