Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular.
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma equação no sistema de coordenadas retangular, que é aquela que usa
e
pra definir pontos no plano. A tarefa aqui é a gente transformar essa equação para o sistema de coordenadas polares, que usa
e
. Pra isso, a gente vai precisar saber as relações entre esses dois sistemas de coordenadas e como substituir
e
por
e
na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como passar de coordenadas retangulares para polares. As relações que usamos são:
Além disso, também sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos substituir
e
na equação original usando essas relações. A equação que temos é:
Vamos substituir
por
e
por
.
Passo 4
Fazendo as substituições, a equação fica:
Agora, vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular os quadrados:
Passo 6
Perceba que
pode ser simplificado usando a identidade trigonométrica
. Então:
Então a equação agora é:
Passo 7
Podemos dividir toda a equação por 2 para simplificar:
Passo 8
Agora, agrupamos os termos que contêm
:
Passo 9
Essa é a equação no sistema de coordenadas polares. Não precisa simplificar mais, a menos que queiramos resolver para
, mas geralmente deixamos assim para representar a equação no sistema polar.
Resposta
A equação no sistema de coordenadas polares é:
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Determine a derivada das seguintes funções:
Determine a derivada das seguintes funções:
Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular.
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Transforme as equações abaixo. As que estiverem no sistema retangular, transforme para polar e as que estiverem no sistema polar, transforme para retangular.
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