Um trem soa seu apito enquanto se aproxima e se afasta de um cruzamento. Um observador no cruzamento ouve um apito de frequência 219 Hz quando o trem se aproxima e 184 Hz quando o trem se afasta. A velocidade do som pode ser considerada como 340m/s. Encontre (a) a velocidade do trem e (b) a frequência do apito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O exercício fala sobre o efeito Doppler, que é quando a frequência de um som muda dependendo se a fonte está se aproximando ou se afastando de você. Nesse caso, temos um trem que está se aproximando e se afastando de um cruzamento, e um observador lá no cruzamento está ouvindo diferentes frequências do apito do trem. Precisamos descobrir (a) a velocidade do trem e (b) a frequência original do apito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o efeito Doppler. Quando a fonte do som (no caso, o apito do trem) está se movendo em relação ao observador, a frequência que o observador ouve muda. Se a fonte está se aproximando, a frequência aumenta; se está se afastando, a frequência diminui. A fórmula para o efeito Doppler quando a fonte está em movimento e o observador está parado é:
Onde:
- $ f’ $ é a frequência observada.
- $ f $ é a frequência da fonte.
- $ v $ é a velocidade do som.
- $ v_o $ é a velocidade do observador (que é 0 neste caso, já que ele está parado).
- $ v_s $ é a velocidade da fonte (o trem, que queremos encontrar).
Passo 3
Vamos definir o que sabemos:
- Quando o trem está se aproximando, $ f’_1 = 219 $ Hz.
- Quando o trem está se afastando, $ f’_2 = 184 $ Hz.
- A velocidade do som $ v = 340 $ m/s.
- O observador está parado, então $ v_o = 0 $ m/s.
Queremos encontrar $ v_s $ e $ f $.
Passo 4
Vamos escrever as duas equações usando a fórmula do efeito Doppler:
Para o trem se aproximando:
Para o trem se afastando:
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ f $ e $ v_s $). Vamos resolver para $ f $ na primeira equação:
Passo 6
Substituímos essa expressão para $ f $ na segunda equação:
Passo 7
Simplificamos a equação:
Passo 8
Dividimos ambos os lados por 219:
Calculando $ \frac{184}{219} $:
Então:
Passo 9
Multiplicamos ambos os lados por $ 340 + v_s $:
Distribuímos o 0,8411:
Calculando $ 0,8411 \times 340 $:
Passo 10
Reunimos os termos com $ v_s $:
Calculando $ 285,694 - 340 $:
Passo 11
Isolamos $ v_s $:
Passo 12
Agora que temos $ v_s $, podemos encontrar $ f $ usando a equação do Passo 5:
Resposta
(a) A velocidade do trem é aproximadamente 29,5 m/s.
(b) A frequência original do apito é aproximadamente 200 Hz.