Um trem soa seu apito enquanto se aproxima e se afasta de um cruzamento. Um observador no cruzamento ouve um apito de frequência 219 Hz quando o trem se aproxima e 184 Hz quando o trem se afasta. A velocidade do som pode ser considerada como 340m/s. Encontre (a) a velocidade do trem e (b) a frequência do apito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O exercício fala sobre o efeito Doppler, que é quando a frequência de um som muda dependendo se a fonte está se aproximando ou se afastando de você. Nesse caso, temos um trem que está se aproximando e se afastando de um cruzamento, e um observador lá no cruzamento está ouvindo diferentes frequências do apito do trem. Precisamos descobrir (a) a velocidade do trem e (b) a frequência original do apito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o efeito Doppler. Quando a fonte do som (no caso, o apito do trem) está se movendo em relação ao observador, a frequência que o observador ouve muda. Se a fonte está se aproximando, a frequência aumenta; se está se afastando, a frequência diminui. A fórmula para o efeito Doppler quando a fonte está em movimento e o observador está parado é:
f' = f ( v + vov - vs )
Onde:
  • $ f’ $ é a frequência observada.
  • $ f $ é a frequência da fonte.
  • $ v $ é a velocidade do som.
  • $ v_o $ é a velocidade do observador (que é 0 neste caso, já que ele está parado).
  • $ v_s $ é a velocidade da fonte (o trem, que queremos encontrar).

Passo 3

Vamos definir o que sabemos:
  • Quando o trem está se aproximando, $ f’_1 = 219 $ Hz.
  • Quando o trem está se afastando, $ f’_2 = 184 $ Hz.
  • A velocidade do som $ v = 340 $ m/s.
  • O observador está parado, então $ v_o = 0 $ m/s.
Queremos encontrar $ v_s $ e $ f $.

Passo 4

Vamos escrever as duas equações usando a fórmula do efeito Doppler:
Para o trem se aproximando:
219 = f ( 340340 - vs )
Para o trem se afastando:
184 = f ( 340340 + vs )

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ f $ e $ v_s $). Vamos resolver para $ f $ na primeira equação:
f

Passo 6

Substituímos essa expressão para $ f $ na segunda equação:
f

Passo 7

Simplificamos a equação:
184 = 219 ( 340 - vs340 + vs )

Passo 8

Dividimos ambos os lados por 219:
184219 = 340 - vs340 + vs
Calculando $ \frac{184}{219} $:
184219
Então:
184219 approx 0,8411

Passo 9

Multiplicamos ambos os lados por $ 340 + v_s $:
340 + vs
Distribuímos o 0,8411:
0,8411 (340 + vs) = 340 - vs
Calculando $ 0,8411 \times 340 $:
0,8411 times 340 + 0,8411 vs = 340 - vs

Passo 10

Reunimos os termos com $ v_s $:
vs
Calculando $ 285,694 - 340 $:
285,694 - 340 = -vs - 0,8411 vs

Passo 11

Isolamos $ v_s $:
vs

Passo 12

Agora que temos $ v_s $, podemos encontrar $ f $ usando a equação do Passo 5:
vs

Resposta

(a) A velocidade do trem é aproximadamente 29,5 m/s.
(b) A frequência original do apito é aproximadamente 200 Hz.

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