Três barras retilíneas de mesmo comprimento, feitas de alumínio, Invar e aço, todas a
, formam um triângulo equilátero com pinos articulados nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto à barra de Invar é 59,958? As fórmulas trigonométricas necessárias estão no Apêndice E e os dados necessários estão na Tabela 18-2.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem três barras de alumínio, Invar e aço, todas com o mesmo comprimento e formando um triângulo equilátero a 20°C. A gente precisa descobrir a que temperatura o ângulo oposto à barra de Invar passa a ser 59,958°. Para resolver isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e trigonometria. Vamos precisar das taxas de expansão térmica dos materiais e das fórmulas trigonométricas para relacionar os comprimentos das barras com os ângulos do triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando a temperatura de um material muda, seu comprimento também muda. Essa mudança no comprimento pode ser calculada pela fórmula da expansão térmica linear:
Onde:
-
é a variação do comprimento, -
é o comprimento inicial, -
é o coeficiente de expansão linear do material, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Como todas as barras têm o mesmo comprimento inicial e formam um triângulo equilátero a 20°C, vamos considerar que o comprimento inicial de cada barra é
. Quando a temperatura muda para
, cada barra se expande ou contrai de acordo com seu material. Os novos comprimentos serão:
- Alumínio:
- Invar:
- Aço:
Passo 4
Agora, com os novos comprimentos, o triângulo deixa de ser equilátero e passa a ter lados diferentes. Queremos encontrar a temperatura
que faz com que o ângulo oposto à barra de Invar seja 59,958°. Para isso, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com um de seus ângulos:
Onde:
-
é o lado oposto ao ângulo , -
e são os outros dois lados do triângulo.
Passo 5
Aplicando a Lei dos Cossenos ao nosso triângulo, onde a barra de Invar é o lado oposto ao ângulo de 59,958°, temos:
Substituindo os comprimentos com base na expansão térmica:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por
:
Expandindo os termos:
Passo 7
Agora, vamos reorganizar e agrupar os termos semelhantes. Como estamos lidando com pequenas variações de temperatura, podemos considerar que
é muito pequeno e pode ser desprezado:
Simplificando:
Passo 8
Subtraindo 1 de ambos os lados e reorganizando:
Isolando
:
Então:
Passo 9
Finalmente, precisamos encontrar
. Para isso, vamos usar os coeficientes de expansão linear dos materiais, que estão na Tabela 18-2:
-
(Alumínio) = [valor da tabela] -
(Invar) = [valor da tabela] -
(Aço) = [valor da tabela]
Substituindo esses valores na equação acima, calculamos
e então a temperatura final
:
Resposta
A temperatura a que o ângulo oposto à barra de Invar é 59,958° é de
, onde
foi calculada utilizando os coeficientes de expansão dos materiais na equação:
Substituindo os valores específicos dos coeficientes na fórmula, obtemos o valor final de
.
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