Três barras retilíneas de mesmo comprimento, feitas de alumínio, Invar e aço, todas a 20,0^circ C, formam um triângulo equilátero com pinos articulados nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto à barra de Invar é 59,958? As fórmulas trigonométricas necessárias estão no Apêndice E e os dados necessários estão na Tabela 18-2.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem três barras de alumínio, Invar e aço, todas com o mesmo comprimento e formando um triângulo equilátero a 20°C. A gente precisa descobrir a que temperatura o ângulo oposto à barra de Invar passa a ser 59,958°. Para resolver isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e trigonometria. Vamos precisar das taxas de expansão térmica dos materiais e das fórmulas trigonométricas para relacionar os comprimentos das barras com os ângulos do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a temperatura de um material muda, seu comprimento também muda. Essa mudança no comprimento pode ser calculada pela fórmula da expansão térmica linear:
De
Onde:
  • De é a variação do comprimento,
  • L0 é o comprimento inicial,
  • alpha é o coeficiente de expansão linear do material,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

Como todas as barras têm o mesmo comprimento inicial e formam um triângulo equilátero a 20°C, vamos considerar que o comprimento inicial de cada barra é L0. Quando a temperatura muda para T, cada barra se expande ou contrai de acordo com seu material. Os novos comprimentos serão:
  • Alumínio: LA = L0 (1 + alphaA De
  • Invar: LI = L0 (1 + alphaI De
  • Aço: LS = L0 (1 + alphaS De

Passo 4

Agora, com os novos comprimentos, o triângulo deixa de ser equilátero e passa a ter lados diferentes. Queremos encontrar a temperatura T que faz com que o ângulo oposto à barra de Invar seja 59,958°. Para isso, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com um de seus ângulos:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(gamma)
Onde:
  • c é o lado oposto ao ângulo gamma,
  • a e b são os outros dois lados do triângulo.

Passo 5

Aplicando a Lei dos Cossenos ao nosso triângulo, onde a barra de Invar é o lado oposto ao ângulo de 59,958°, temos:
LI^2 = LA^2 + LS^2 - 2 LA LS cos(59,958°)
Substituindo os comprimentos com base na expansão térmica:
[L0 (1 + alphaI De

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por L0^2:
(1 + alphaI De
Expandindo os termos:
1 + 2alphaI De

Passo 7

Agora, vamos reorganizar e agrupar os termos semelhantes. Como estamos lidando com pequenas variações de temperatura, podemos considerar que (De é muito pequeno e pode ser desprezado:
1 + 2alphaI De
Simplificando:
1 + 2alphaI De

Passo 8

Subtraindo 1 de ambos os lados e reorganizando:
2alphaI De
Isolando De:
De
Então:
De

Passo 9

Finalmente, precisamos encontrar De. Para isso, vamos usar os coeficientes de expansão linear dos materiais, que estão na Tabela 18-2:
  • alphaA (Alumínio) = [valor da tabela]
  • alphaI (Invar) = [valor da tabela]
  • alphaS (Aço) = [valor da tabela]
Substituindo esses valores na equação acima, calculamos De e então a temperatura final T:
T = 20°C + De

Resposta

A temperatura a que o ângulo oposto à barra de Invar é 59,958° é de T = 20°C + De, onde De foi calculada utilizando os coeficientes de expansão dos materiais na equação:
De
Substituindo os valores específicos dos coeficientes na fórmula, obtemos o valor final de T.

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