Três barras retilíneas de mesmo comprimento, feitas de alumínio, Invar e aço, todas a , formam um triângulo equilátero com pinos articulados nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto à barra de Invar é 59,958? As fórmulas trigonométricas necessárias estão no Apêndice E e os dados necessários estão na Tabela 18-2.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem três barras de alumínio, Invar e aço, todas com o mesmo comprimento e formando um triângulo equilátero a 20°C. A gente precisa descobrir a que temperatura o ângulo oposto à barra de Invar passa a ser 59,958°. Para resolver isso, vamos usar conceitos de expansão térmica e trigonometria. Vamos precisar das taxas de expansão térmica dos materiais e das fórmulas trigonométricas para relacionar os comprimentos das barras com os ângulos do triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando a temperatura de um material muda, seu comprimento também muda. Essa mudança no comprimento pode ser calculada pela fórmula da expansão térmica linear:
Onde:
  • é a variação do comprimento,
  • é o comprimento inicial,
  • é o coeficiente de expansão linear do material,
  • é a variação de temperatura.

Passo 3

Como todas as barras têm o mesmo comprimento inicial e formam um triângulo equilátero a 20°C, vamos considerar que o comprimento inicial de cada barra é . Quando a temperatura muda para , cada barra se expande ou contrai de acordo com seu material. Os novos comprimentos serão:
  • Alumínio:
  • Invar:
  • Aço:

Passo 4

Agora, com os novos comprimentos, o triângulo deixa de ser equilátero e passa a ter lados diferentes. Queremos encontrar a temperatura que faz com que o ângulo oposto à barra de Invar seja 59,958°. Para isso, vamos usar a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com um de seus ângulos:
Onde:
  • é o lado oposto ao ângulo ,
  • e são os outros dois lados do triângulo.

Passo 5

Aplicando a Lei dos Cossenos ao nosso triângulo, onde a barra de Invar é o lado oposto ao ângulo de 59,958°, temos:
Substituindo os comprimentos com base na expansão térmica:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação. Primeiro, podemos dividir todos os termos por :
Expandindo os termos:

Passo 7

Agora, vamos reorganizar e agrupar os termos semelhantes. Como estamos lidando com pequenas variações de temperatura, podemos considerar que é muito pequeno e pode ser desprezado:
Simplificando:

Passo 8

Subtraindo 1 de ambos os lados e reorganizando:
Isolando :
Então:

Passo 9

Finalmente, precisamos encontrar . Para isso, vamos usar os coeficientes de expansão linear dos materiais, que estão na Tabela 18-2:
  • (Alumínio) = [valor da tabela]
  • (Invar) = [valor da tabela]
  • (Aço) = [valor da tabela]
Substituindo esses valores na equação acima, calculamos e então a temperatura final :

Resposta

A temperatura a que o ângulo oposto à barra de Invar é 59,958° é de , onde foi calculada utilizando os coeficientes de expansão dos materiais na equação:
Substituindo os valores específicos dos coeficientes na fórmula, obtemos o valor final de .

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