Três esferas condutoras estão próximas uma da outra. A primeira tem carga inicial q1=8 mu C e raio R1=45 cm, a segunda carga q2=-1 mu C e raio R2=60 cm e a terceira carga q3=0 mu C e raio R3=20 cm. Se todas as esferas forem ligadas por fios condutores, qual será a carga final em cada uma?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos três esferas condutoras próximas umas das outras. A primeira tem uma carga inicial de e raio , a segunda tem carga e raio , e a terceira começa sem carga, ou seja, e raio . Quando ligamos todas essas esferas com fios condutores, queremos descobrir qual será a carga final em cada uma delas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de eletricidade estática, especificamente sobre potencial elétrico e conservação de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando condutores são conectados por fios, eles atingem o equilíbrio eletrostático, ou seja, todas as esferas terão o mesmo potencial elétrico. Isso é fundamental porque permite que as cargas se redistribuam de forma que não haja fluxo de carga entre as esferas após o equilíbrio ser atingido.

Passo 3

O potencial elétrico ( V = k cdot QR ) de uma esfera condutora é dado pela fórmula:
Q1R1 = Q2R2 = Q3R3
onde:
  • é a constante eletrostática ( ²²),
  • é a carga na esfera,
  • é o raio da esfera.
Como todas as esferas estão em equilíbrio, seus potenciais serão iguais:

Passo 4

Agora, vamos usar a conservação de carga. A carga total antes de conectar as esferas é a soma das cargas individuais:
Qtotal = q1 + q2 + q3 = 8,mu C + (-1,mu C) + 0,mu C = 7,mu C
Após o equilíbrio, a carga total ainda será Q1 + Q2 + Q3 = 7,mu C , então:
Q1R1 = Q2R2 = Q3R3 = V
Como sabemos que:
Q1 = V cdot R1
Podemos expressar cada Q2 = V cdot R2 em termos de Q3 = V cdot R3 :
V cdot R1 + V cdot R2 + V cdot R3 = 7,mu C
V (R1 + R2 + R3) = 7,mu C
V = 7,mu CR1 + R2 + R3
Somando todas as cargas:
Fatorando :
Então, isolando :

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores dos raios. Mas atenção: os raios estão em centímetros, e como estamos trabalhando com razão, está tudo certo mantê-los em cm.
V = 7,mu C45,cm + 60,cm + 20,cm = 7,mu C125,cm = 0,056,mu C/cm
Agora, encontramos Q1 = V cdot R1 = 0,056,mu C/cm times 45,cm = 2,52,mu C . Vamos usar isso para encontrar cada carga:
Q2 = V cdot R2 = 0,056,mu C/cm times 60,cm = 3,36,mu C
Q3 = V cdot R3 = 0,056,mu C/cm times 20,cm = 1,12,mu C

Resposta

Após conectar as três esferas, as cargas finais serão:
  • Esfera 1:
  • Esfera 2:
  • Esfera 3:

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