Três forças estão aplicadas em um cilindro que pode girar em torno de um eixo fixo passando pelo seu centro. Sabendo que R1=5 cm, R2=12 cm, F1=6 N e F2=4 N, Agora, suponha que a massa do cilindro é de 2 kg e que F3=2 N. b) Determine o módulo, a direção e o sentido do vetor aceleração do cilindro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre forças aplicadas em um cilindro que pode girar ao redor de um eixo fixo no centro. Estamos lidando com Dinâmica Rotacional, que estuda como as forças fazem os objetos girarem. Para resolver, vamos precisar das informações sobre as forças aplicadas, as distâncias delas até o eixo de rotação (raios), e a massa do cilindro. Nosso objetivo é encontrar a aceleração angular do cilindro, ou seja, quão rápido ele está aumentando sua velocidade de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando uma força atua em um objeto que pode girar, ela cria um torque. O torque é responsável por causar a rotação e é calculado pela fórmula:
tau = F times R
onde é a força aplicada e é a distância do ponto de aplicação da força até o eixo de rotação.

Passo 3

Vamos calcular os torques das duas primeiras forças:
Para tau1 = F1 times R1 = 6 , N times 0,05 , m = 0,3 , N·m aplicada a tau2 = F2 times R2 = 4 , N times 0,12 , m = 0,48 , N·m :
Para aplicada a :

Passo 4

Agora, vamos considerar a terceira força tau3 = F3 times 0 = 0 , N·m . Precisamos saber onde ela está sendo aplicada. Supondo que ela também está aplicada no centro (já que o cilindro gira em torno do eixo no centro), o torque dela será zero, porque o braço de alavanca é zero:

Passo 5

Vamos somar todos os torques para encontrar o torque total ( tautotal = tau1 + tau2 + tau3 = 0,3 + 0,48 + 0 = 0,78 , N·m ):

Passo 6

Agora, precisamos relacionar o torque total com a aceleração angular ( tautotal = I times alpha ). Para isso, usamos a segunda lei de Newton para rotação:
I = 12 m R^2
onde é o momento de inércia do cilindro. Para um cilindro sólido girando em torno do eixo central, o momento de inércia é:

Passo 7

Vamos calcular o momento de inércia. A massa I = 12 times 2 , kg times (0,12 , m)^2 = 12 times 2 times 0,0144 = 0,0144 , kg·m^2 e precisamos definir o raio do cilindro. Se não foi dado, vamos assumir que é o raio maior onde a força foi aplicada, ou seja, :

Passo 8

Agora, resolvemos para a aceleração angular alpha = tautotalI = 0,780,0144 approx 54,17 , rad/s^2 :

Resposta

A aceleração angular do cilindro é aproximadamente na direção definida pelo torque resultante, ou seja, no sentido que faz o cilindro girar de acordo com as forças aplicadas.

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