Três partículas carregadas estão situadas a uma R(R=2 mm) da origem do plano cartesiano e fazem ângulos de 60 graus com o eixo x. Calcule o campo elétrico resultante na origem do sistema. Considere Q1=-4 nC, Q2=2 nC e Q3= 5 nC . Elas estão localizadas no primeiro, segundo e terceiro quadrante respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de eletrostática! A gente tem três cargas elétricas posicionadas a uma distância R = 2,mm da origem do plano cartesiano, formando ângulos de 60 graus com o eixo x. As cargas são Q1 = -4,nC, Q2 = 2,nC e Q3 = 5,nC, localizadas no primeiro, segundo e terceiro quadrante, respectivamente. Nosso objetivo é calcular o campo elétrico resultante na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico criado por uma carga pontual é dado pela Lei de Coulomb:
E = k cdot Qr^2 cdot r
onde é a constante eletrostática, k = 9 times 10^9,N·m²/C² é a carga, Q é a distância da carga até o ponto onde estamos calculando o campo elétrico (neste caso, a origem), e r é o vetor unitário na direção de r.

Passo 3

Vamos calcular o campo elétrico gerado por cada carga na origem. Como todas as cargas estão a distância R = 2,mm = 2 times 10^-3,m da origem, podemos usar a fórmula acima para cada uma delas.

Passo 4

Primeiro, calculamos o campo elétrico devido a Q1 = -4,nC no primeiro quadrante. O ângulo com o eixo x é 60 graus.
E1 = k cdot Q1R^2 = 9 times 10^9 cdot (-4 times 10^-9)(2 times 10^-3)^2 = -36 times 10^04 times 10^-6 = -9 times 10^6,N/C
Como a carga é negativa, o campo aponta na direção oposta ao vetor posição, ou seja, 60 graus abaixo do eixo x.

Passo 5

Agora, dividimos E1 em componentes x e y usando trigonometria:
E1x = E1 cos(60^circ) = -9 times 10^6 cdot 12 = -4.5 times 10^6,N/C
E1y = E1 sin(60^circ) = -9 times 10^6 cdot raiz32 approx -7.8 times 10^6,N/C

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para Q2 = 2,nC no segundo quadrante. O ângulo é 60 graus, mas como está no segundo quadrante, a componente x será negativa e a y positiva.
E2 = k cdot Q2R^2 = 9 times 10^9 cdot 2 times 10^-9(2 times 10^-3)^2 = 18 times 10^04 times 10^-6 = 4.5 times 10^6,N/C
Dividindo em componentes:
E2x = E2 cos(60^circ) = 4.5 times 10^6 cdot 12 = 2.25 times 10^6,N/C (negativo no segundo quadrante)
E2y = E2 sin(60^circ) = 4.5 times 10^6 cdot raiz32 approx 7.8 times 10^6,N/C
Então:
E2x = -2.25 times 10^6,N/C, E2y = 7.8 times 10^6,N/C

Passo 7

Por fim, calculamos o campo elétrico devido a Q3 = 5,nC no terceiro quadrante. O ângulo é 60 graus, mas aqui tanto as componentes x quanto y serão negativas.
E3 = k cdot Q3R^2 = 9 times 10^9 cdot 5 times 10^-9(2 times 10^-3)^2 = 45 times 10^04 times 10^-6 = 11.25 times 10^6,N/C
Dividindo em componentes:
E3x = E3 cos(60^circ) = 11.25 times 10^6 cdot 12 = 5.625 times 10^6,N/C (negativo no terceiro quadrante)
E3y = E3 sin(60^circ) = 11.25 times 10^6 cdot raiz32 approx 9.75 times 10^6,N/C (negativo no terceiro quadrante)
Então:
E3x = -5.625 times 10^6,N/C, E3y = -9.75 times 10^6,N/C

Passo 8

Agora, somamos todas as componentes x e y para obter o campo elétrico total na origem.
Somando as componentes x:
Ex = E1x + E2x + E3x = (-4.5 + (-2.25) + (-5.625)) times 10^6 = -12.375 times 10^6,N/C
Somando as componentes y:
Ey = E1y + E2y + E3y = (-7.8 + 7.8 + (-9.75)) times 10^6 = -9.75 times 10^6,N/C

Passo 9

Por fim, calculamos a magnitude do campo elétrico resultante usando o teorema de Pitágoras:
|E| = raizEx^2 + Ey^2 = raiz(-12.375 times 10^6)^2 + (-9.75 times 10^6)^2
Para encontrar a direção, calculamos o ângulo:
|E| = raiz1.531 times 10^14 + 9.506 times 10^13 = raiz2.481 times 10^14 approx 1.575 times 10^7,N/C
Como ambos theta = tan^-1(EyEx) = tan^-1(-9.75-12.375) = tan^-1(0.788) approx 38.4^circ e Ex são negativos, o campo está no terceiro quadrante, ou seja, Ey abaixo do eixo 38.4^circ.

Resposta

O campo elétrico resultante na origem é aproximadamente 1.575 times 10^7,N/C, direcionado a 38.4^circ abaixo do eixo x no terceiro quadrante.

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