Se EFG é um triângulo qualquer e P, Q e R são os pontos médios dos lados EF, FG e GE respectivamente, demostrar que EPQR é um paralelogramo.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para mostrar que, em qualquer triângulo EFG, se P, Q e R são os pontos médios dos lados EF, FG e GE, respectivamente, então o quadrilátero EPQR forma um paralelogramo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria relacionados a pontos médios e propriedades dos paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos médios. Sabemos que P é o ponto médio de EF, Q é o ponto médio de FG e R é o ponto médio de GE. Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos traçar os segmentos PR e QP. Nosso objetivo é mostrar que PR é paralelo a EQ e que QP é paralelo a ER, o que caracterizaria EPQR como um paralelogramo.
Passo 4
Observamos que, como P e Q são pontos médios de EF e FG, respectivamente, o segmento PQ é uma mediana do triângulo EFG. De acordo com o Teorema do Meio, este segmento é paralelo a GE e tem metade do seu comprimento:
Passo 5
De maneira similar, como R é o ponto médio de GE e P é o ponto médio de EF, o segmento PR também é uma mediana. Aplicando novamente o Teorema do Meio, temos:
Passo 6
Vamos analisar agora os segmentos EP e QR. Como P e R são pontos médios de EF e GE, respectivamente, o segmento PR conecta esses pontos médios. Pelo Teorema do Meio, PR é paralelo a FG e tem metade do comprimento de FG:
Passo 7
Da mesma forma, o segmento EQ conecta o ponto E ao ponto Q, que é o ponto médio de FG. Aplicando o Teorema do Meio novamente, temos:
Passo 8
Sabemos que, se dois pares de lados opostos de um quadrilátero são paralelos, então esse quadrilátero é um paralelogramo. No nosso caso, mostramos que:
Resposta
Portanto, conforme demonstrado, o quadrilátero EPQR é um paralelogramo.