Em um triângulo ABC, retângulo em A, o ângulo B mede 30º e a hipotenusa mede 5cm.
Determine as medidas dos catetos AC e AB desse triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um triângulo ABC que é retângulo no ponto A. O ângulo B tem 30º e a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) mede 5 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir o comprimento dos catetos AC e AB usando trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição dos ângulos no triângulo. Como o triângulo é retângulo em A e o ângulo B é de 30º, o terceiro ângulo, C, necessariamente será de 60º, porque a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.

Passo 3

Agora, vamos usar as funções trigonométricas seno e cosseno para encontrar os valores dos catetos. Lembre-se que:
  • sin(theta) = cateto opostohipotenusa
  • cos(theta) = cateto adjacentehipotenusa

Passo 4

Vamos começar encontrando o cateto AC, que é o oposto ao ângulo B de 30º. Aplicando a fórmula do seno:
sin(30º) = AC5,cm º
Sabemos que sin(30º) = 0,5º, então:
0,5 = AC5

Passo 5

Resolvendo para AC:
AC = 5,cm times 0,5 = 2,5,cm
Portanto, o cateto AC mede 2,5 cm.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o cateto AB, que é o adjacente ao ângulo B de 30º. Usando a fórmula do cosseno:
cos(30º) = AB5,cm º
Sabemos que cos(30º) = raiz32 approx 0,8660º, então:
0,8660 = AB5

Passo 7

Resolvendo para AB:
AB = 5,cm times 0,8660 approx 4,33,cm
Assim, o cateto AB mede aproximadamente 4,33 cm.

Resposta

Os catetos do triângulo medem AC = 2,5,cm e AB approx 4,33,cm.

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