Em um triângulo ABC, retângulo em A, o ângulo B mede 30º e a hipotenusa mede 5cm.
Determine as medidas dos catetos AC e AB desse triângulo.
Determine as medidas dos catetos AC e AB desse triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um triângulo ABC que é retângulo no ponto A. O ângulo B tem 30º e a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) mede 5 cm. Nosso objetivo aqui é descobrir o comprimento dos catetos AC e AB usando trigonometria.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição dos ângulos no triângulo. Como o triângulo é retângulo em A e o ângulo B é de 30º, o terceiro ângulo, C, necessariamente será de 60º, porque a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180º.
Passo 3
Agora, vamos usar as funções trigonométricas seno e cosseno para encontrar os valores dos catetos. Lembre-se que:
Passo 4
Vamos começar encontrando o cateto AC, que é o oposto ao ângulo B de 30º. Aplicando a fórmula do seno:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Resolvendo para AC:
Portanto, o cateto AC mede 2,5 cm.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o cateto AB, que é o adjacente ao ângulo B de 30º. Usando a fórmula do cosseno:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Resolvendo para AB:
Assim, o cateto AB mede aproximadamente 4,33 cm.
Resposta
Os catetos do triângulo medem
e
.