Em um triângulo retângulo, um cateto mede 10 cm, e a projeção desse cateto sobre a hipotenusa mede 5 cm. Nesta condição, determine a medida;
a) da hipotenusa;
b) do outro cateto;
c) da altura relativa à hipotenusa.
a) da hipotenusa;
b) do outro cateto;
c) da altura relativa à hipotenusa.
Passo 1
Então, temos um triângulo retângulo onde um dos catetos mede 10 cm. A projeção desse cateto sobre a hipotenusa é de 5 cm. Vamos usar conhecimentos de geometria sobre triângulos retângulos, projeções, e relações entre os lados para encontrar:
a) A medida da hipotenusa;
b) A medida do outro cateto;
c) A altura relativa à hipotenusa.
b) A medida do outro cateto;
c) A altura relativa à hipotenusa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um cateto sobre a hipotenusa. Em um triângulo retângulo, a projeção de um cateto sobre a hipotenusa é a distância que esse cateto “projeta” na hipotenusa. Essa projeção está relacionada aos comprimentos dos lados do triângulo.
Passo 3
Vamos usar o teorema que relaciona a projeção do cateto §, o cateto (a) e a hipotenusa ©. A relação é dada por:
Aqui,
cm e
cm.
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Passo 6
Agora que sabemos a hipotenusa, vamos encontrar o outro cateto. Em um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras:
Onde:
-
cm (cateto conhecido) -
cm (hipotenusa encontrada) -
é o outro cateto que queremos encontrar.
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 8
Resolvendo para
:
Passo 9
Por fim, vamos encontrar a altura relativa à hipotenusa. A altura em um triângulo retângulo relativa à hipotenusa pode ser calculada usando a fórmula:
Onde:
-
cm -
cm -
cm
Passo 10
Substituindo os valores na fórmula:
Resposta
c) A altura relativa à hipotenusa mede 5√3 cm.