Em um triângulo retângulo, um cateto mede 10 cm, e a projeção desse cateto sobre a hipotenusa mede 5 cm. Nesta condição, determine a medida;
a) da hipotenusa;
b) do outro cateto;
c) da altura relativa à hipotenusa.

Passo 1

Então, temos um triângulo retângulo onde um dos catetos mede 10 cm. A projeção desse cateto sobre a hipotenusa é de 5 cm. Vamos usar conhecimentos de geometria sobre triângulos retângulos, projeções, e relações entre os lados para encontrar:
a) A medida da hipotenusa;
b) A medida do outro cateto;
c) A altura relativa à hipotenusa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um cateto sobre a hipotenusa. Em um triângulo retângulo, a projeção de um cateto sobre a hipotenusa é a distância que esse cateto “projeta” na hipotenusa. Essa projeção está relacionada aos comprimentos dos lados do triângulo.

Passo 3

Vamos usar o teorema que relaciona a projeção do cateto §, o cateto (a) e a hipotenusa ©. A relação é dada por:
p = a^2c
Aqui, cm e cm.

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
5 = 10^2c
5 = 100c

Passo 5

Agora, resolvemos para 5c = 100 :
c = 1005
c = 20
cm

Passo 6

Agora que sabemos a hipotenusa, vamos encontrar o outro cateto. Em um triângulo retângulo, podemos usar o teorema de Pitágoras:
a^2 + b^2 = c^2
Onde:
  • cm (cateto conhecido)
  • cm (hipotenusa encontrada)
  • é o outro cateto que queremos encontrar.

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
10^2 + b^2 = 20^2
100 + b^2 = 400

Passo 8

Resolvendo para b^2 = 400 - 100 :
b^2 = 300
b = raiz300
b = raiz100 times 3
b = 10raiz3
cm

Passo 9

Por fim, vamos encontrar a altura relativa à hipotenusa. A altura em um triângulo retângulo relativa à hipotenusa pode ser calculada usando a fórmula:
h = a times bc
Onde:
  • cm
  • cm
  • cm

Passo 10

Substituindo os valores na fórmula:
h = 10 times 10raiz320
h = 100raiz320
h = 5raiz3 cm

Resposta

c) A altura relativa à hipotenusa mede 5√3 cm.

Exercícios relacionados