Um trilho de aço, com Módulo de Elasticidade, Ea c=207 GPa e coeficiente de dilatação térmica, alpha= 11,5 times 10^-6 ^circ C^-1, foi instalado à temperatura de -9,2^circ C. Determine a tensão normal, em MPa , no trilho quando a temperatura alcança 30,66^circ C, considerando que os trilhos possuem 6,5 m, nas condições abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um trilho de aço que foi instalado numa temperatura de -9,2°C. A gente sabe também o Módulo de Elasticidade do aço, que é de Eac = 207 GPa, e o coeficiente de dilatação térmica, que é alpha = 11,5 times 10^-6 , ^circC^-1. O trilho tem um comprimento de 6,5 metros. A pergunta é: qual é a tensão normal no trilho quando a temperatura sobe para 30,66°C?
Vamos precisar usar conceitos de dilatação térmica e de como a temperatura afeta o comprimento do material. Também vamos precisar usar a fórmula da tensão normal que relaciona a tensão, o módulo de elasticidade e a deformação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variação de temperatura que o trilho sofreu. Isso é simples: subtrai a temperatura inicial da final.
De

Passo 3

Agora, vamos calcular a variação no comprimento do trilho devido a essa mudança de temperatura. A fórmula para dilatação linear é:
De
Onde:
  • De é a variação do comprimento
  • alpha é o coeficiente de dilatação térmica
  • L é o comprimento original
  • De é a variação de temperatura
Vamos substituir os valores:
De

Passo 4

Calculando De:
De
Primeiro, multiplicamos os números:
11,5 times 6,5 = 74,75
Depois:
74,75 times 39,86 = 2980,855
Então:
De
Ou seja, a variação no comprimento é de aproximadamente 0,00298 metros.

Passo 5

Agora, a tensão normal ( sigma) no trilho pode ser calculada usando a Lei de Hooke para deformações lineares:
sigma = E cdot varepsilon
Onde:
  • sigma é a tensão normal
  • E é o módulo de elasticidade
  • varepsilon é a deformação
A deformação ( varepsilon) é dada por:
varepsilon = De
Vamos calcular varepsilon:
varepsilon = 0,002980855 , m6,5 , m approx 0,0004586

Passo 6

Agora, substituímos os valores na fórmula da tensão:
sigma = 207 times 10^9 , Pa cdot 0,0004586
Calculando:
sigma approx 207 times 10^9 cdot 0,0004586 = 9,4962 times 10^7 , Pa
Convertendo para MPa (já que 1 , MPa = 10^6 , Pa):
sigma approx 9,4962 times 10^7 , Pa10^6 = 94,96 , MPa

Resposta

A tensão normal no trilho quando a temperatura chega a 30,66^circC é aproximadamente 95,0 MPa.

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