Uma viga de concreto armado tem área de seção transversal retangular de
com 3 barras de aço na parte inferior de bitola 10 mm distando 4 cm do seu centro ao fundo da viga. Se ela for submetida a um momento fletor
, qual será a tensão normal em cada barra de aço e a tensão normal máxima no concreto? Adote
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma viga de concreto armado com uma seção retangular de 30 cm de largura e 50 cm de altura. Ela tem 3 barras de aço na parte de baixo, cada uma com bitola de 10 mm, e essas barras estão 4 cm abaixo do centro da viga. A viga está resistindo a um momento fletor de 45 kN.m. A gente precisa descobrir qual é a tensão normal em cada barra de aço e a tensão normal máxima no concreto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre vigas sujeitas a flexão, além de aplicar fórmulas de tensão e equilíbrio de forças.
Passo 2
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
- Largura da viga (b) = 30 cm = 0,3 m
- Altura da viga (h) = 50 cm = 0,5 m
- Diâmetro das barras (d) = 10 mm = 0,01 m
- Distância das barras do centro (a) = 4 cm = 0,04 m
- Momento fletor (M) = 45 kN.m = 45000 N.m
- Módulo de elasticidade do aço (E_aço) = 200 GPa = 200 x 10^9 N/m²
- Módulo de elasticidade do concreto (E_concreto) = 30 GPa = 30 x 10^9 N/m²
Passo 3
Vamos calcular a área total das barras de aço. Cada barra tem diâmetro de 10 mm, então o raio é 5 mm = 0,005 m. A área de uma barra é:
Como são 3 barras:
Passo 4
Agora, vamos determinar a posição neutra da viga. Para isso, usamos a relação dos módulos de elasticidade para transformar a área de aço em “área equivalente de concreto”. O módulo de elasticidade relativa é:
Então, a área equivalente de concreto das barras de aço é:
Passo 5
A área total efetiva da seção transformada é a área do concreto mais a área equivalente das barras de aço:
Passo 6
Calculamos o momento de inércia da seção transformada em relação ao eixo neutro. Para simplificar, vamos considerar apenas o concreto, já que a contribuição das barras de aço na inércia é pequena:
Passo 7
Com o momento de inércia, podemos calcular a tensão máxima no concreto usando a fórmula da flexão:
Onde:
- $ M = 45000 , N.m $
- $ y $ é a distância do eixo neutro à fibra extrema (metade da altura):
Então:
Passo 8
Agora, para encontrar a tensão nas barras de aço, usamos a proporcionalidade das deformações. A tensão no aço ($ \sigma_{aço} $) relaciona-se com a tensão no concreto pela razão dos módulos de elasticidade:
Resposta
Cada barra de aço apresenta uma tensão normal de aproximadamente 24 MPa, e a tensão normal máxima no concreto é de cerca de 3,6 MPa.