Uma viga de concreto armado tem área de seção transversal retangular de 30 cm times 50 cm com 3 barras de aço na parte inferior de bitola 10 mm distando 4 cm do seu centro ao fundo da viga. Se ela for submetida a um momento fletor M=45 kN m, qual será a tensão normal em cada barra de aço e a tensão normal máxima no concreto? Adote E aço =200 GPaç e E concreto =30 GPa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma viga de concreto armado com uma seção retangular de 30 cm de largura e 50 cm de altura. Ela tem 3 barras de aço na parte de baixo, cada uma com bitola de 10 mm, e essas barras estão 4 cm abaixo do centro da viga. A viga está resistindo a um momento fletor de 45 kN.m. A gente precisa descobrir qual é a tensão normal em cada barra de aço e a tensão normal máxima no concreto. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica dos materiais, especificamente sobre vigas sujeitas a flexão, além de aplicar fórmulas de tensão e equilíbrio de forças.

Passo 2

Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional para facilitar os cálculos. Sabemos que:
  • Largura da viga (b) = 30 cm = 0,3 m
  • Altura da viga (h) = 50 cm = 0,5 m
  • Diâmetro das barras (d) = 10 mm = 0,01 m
  • Distância das barras do centro (a) = 4 cm = 0,04 m
  • Momento fletor (M) = 45 kN.m = 45000 N.m
  • Módulo de elasticidade do aço (E_aço) = 200 GPa = 200 x 10^9 N/m²
  • Módulo de elasticidade do concreto (E_concreto) = 30 GPa = 30 x 10^9 N/m²

Passo 3

Vamos calcular a área total das barras de aço. Cada barra tem diâmetro de 10 mm, então o raio é 5 mm = 0,005 m. A área de uma barra é:
Aaço = pi r² = pi (0,005)^2 approx 7,85 times 10^-5 , m² ç²²
Como são 3 barras:
Atotalaço = 3 times 7,85 times 10^-5 approx 2,36 times 10^-4 , m² ç²

Passo 4

Agora, vamos determinar a posição neutra da viga. Para isso, usamos a relação dos módulos de elasticidade para transformar a área de aço em “área equivalente de concreto”. O módulo de elasticidade relativa é:
n = EaçoEconcreto = 200 times 10^930 times 10^9 approx 6,67 ç
Então, a área equivalente de concreto das barras de aço é:
A'aço = n times Atotalaço = 6,67 times 2,36 times 10^-4 approx 1,57 times 10^-3 , m² çç²

Passo 5

A área total efetiva da seção transformada é a área do concreto mais a área equivalente das barras de aço:
Atotal = b times h + A'aço = 0,3 times 0,5 + 1,57 times 10^-3 approx 0,150 + 0,00157 approx 0,15157 , m² ç²

Passo 6

Calculamos o momento de inércia da seção transformada em relação ao eixo neutro. Para simplificar, vamos considerar apenas o concreto, já que a contribuição das barras de aço na inércia é pequena:
I = b h^312 = 0,3 times (0,5)^312 = 0,3 times 0,12512 approx 0,003125 , m^4

Passo 7

Com o momento de inércia, podemos calcular a tensão máxima no concreto usando a fórmula da flexão:
sigmaconcreto = M yI
Onde:
- $ M = 45000 , N.m $
- $ y $ é a distância do eixo neutro à fibra extrema (metade da altura):
M = 45000 , Nm
Então:
y ²

Passo 8

Agora, para encontrar a tensão nas barras de aço, usamos a proporcionalidade das deformações. A tensão no aço ($ \sigma_{aço} $) relaciona-se com a tensão no concreto pela razão dos módulos de elasticidade:
sigmaaço çç
sigmaaçosigmaconcreto = EaçoEconcreto çç

Resposta

Cada barra de aço apresenta uma tensão normal de aproximadamente 24 MPa, e a tensão normal máxima no concreto é de cerca de 3,6 MPa.

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