Um tubo de 1,0 m de comprimento é fechado em uma extremidade. Um arame esticado é colocado junto à extremidade aberta. O comprimento do arame é de 0,2 m e sua massa é de 0,02 kg. Está fixado por ambas as extremidades e vibra em seu modo fundamental. Ele faz com que a coluna de ar no tubo vibre na sua frequência fundamental, por ressonância. Ache
(a)(1,0)frequência de oscilação da coluna de ar,

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre vibrações em tubos e arames. O objetivo aqui é encontrar a frequência de oscilação da coluna de ar dentro de um tubo fechado em uma extremidade. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre ondas, vibrações em arames e como elas se relacionam com a ressonância em colunas de ar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo. Temos um tubo com 1,0 metro de comprimento fechado em uma extremidade. Nessa extremidade aberta, colocaram um arame esticado de 0,2 metros de comprimento e com uma massa de 0,02 kg. Esse arame está fixado em ambas as extremidades e está vibrando na sua frequência fundamental. Essas vibrações do arame fazem com que a coluna de ar dentro do tubo também vibre na sua frequência fundamental por ressonância.

Passo 3

Para encontrar a frequência de oscilação da coluna de ar, precisamos relacionar a frequência do arame com a frequência da coluna de ar. Vamos começar calculando a frequência fundamental do arame.
A frequência fundamental de um arame fixo em ambas as extremidades é dada por:
farame = 12 L raizTmu
onde:
  • é o comprimento do arame,
  • é a tensão no arame,
  • é a massa por unidade de comprimento do arame.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a massa por unidade de comprimento ( mu = mL = 0,02, kg0,2, m = 0,1, kg/m ) do arame:

Passo 5

Agora, precisamos relacionar a frequência do arame com a frequência da coluna de ar no tubo. Como a coluna de ar está ressonando com a frequência do arame, temos:
farame = far
A frequência fundamental da coluna de ar em um tubo fechado é dada por:
far = vsom4 Ltubo
onde:
  • é a velocidade do som no ar,
  • é o comprimento do tubo.

Passo 6

Vamos igualar as duas frequências:
12 Larame raizTmu = vsom4 Ltubo
Simplificando:
raizTmu = vsom cdot Larame2 Ltubo
Tmu = ( vsom cdot Larame2 Ltubo )^2

Passo 7

Assumindo que a velocidade do som no ar ( T0,1 = ( 340 times 0,22 times 1,0 )^2 ) é aproximadamente T0,1 = ( 682 )^2 = 34^2 = 1156 , vamos substituir os valores:
T = 0,1 times 1156 = 115,6, N

Passo 8

Agora que temos a tensão no arame, podemos calcular a frequência fundamental do arame:
farame = 12 times 0,2 raiz115,60,1 = 10,4 raiz1156 = 2,5 times 34 = 85, Hz

Resposta

A frequência de oscilação da coluna de ar é 85 Hz.

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