Em um tubo de descarga, são disparados elétrons de energia igual a 12,319 eV a um gás de átomos de hidrogênio. Sabendo que cada nível discreto de energia do hidrogênio, no modelo de Bohr, é dado por -13,6n^2 eV, determine entre que números quânticos (m n) podem acontecer transições neste experimento, sendo mo nivel fundamental.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um tubo de descarga onde elétrons são disparados com energia de 12,319 eV em um gás de átomos de hidrogênio. A gente precisa descobrir entre quais números quânticos (de m para n) essas transições podem ocorrer, considerando que m=1 é o nível fundamental. Para resolver isso, vamos usar o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, que nos dá uma fórmula para os níveis de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que nos dá os níveis de energia no modelo de Bohr:
En = -13,6n^2 eV
Aqui, $ E_n $ é a energia do nível quântico n. O sinal negativo indica que a energia está ligada ao núcleo (ou seja, o elétron está “presa” ao átomo). Nosso objetivo é ver para quais valores de n a diferença de energia entre o nível inicial (m=1) e o nível final (n) é igual à energia dos elétrons disparados (12,319 eV).

Passo 3

Vamos calcular a diferença de energia necessária para uma transição do nível m=1 para um nível n qualquer:
De
Como m=1, temos:
E1 = -13,61^2 = -13,6 eV
Então,
De
Substituindo a expressão de $ E_n $:
En
Queremos que essa diferença de energia seja igual a 12,319 eV:
De

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar n:
  1. Dividimos ambos os lados por 13,6:
1 - 1n^2 = 12,31913,6 approx 0,906
  1. Isolamos $ \frac{1}{n^{2}} $:
1n^2
  1. Invertendo ambos os lados:
1n^2 = 1 - 0,906 = 0,094
  1. Tirando a raiz quadrada:
n^2 = 10,094 approx 10,638
Como n deve ser um número inteiro (já que representa níveis quânticos discretos), arredondamos para os números mais próximos: n=3 e n=4.

Resposta

As transições podem ocorrer dos níveis quânticos m=1 para n=3 e n=4.

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