Um tubo vertical, de altura
e coeficiente de dilatação
, é preenchido até a metade com um determinado líquido (
). Qual a altura final da coluna de líquido quando a temperatura do sistema for alterada de
?
Passo 1
Ok, vamos entender o que está acontecendo aqui! Temos um tubo vertical com altura
que pode se expandir quando a temperatura muda, e está meio cheio com um líquido que também se expande com o calor. Queremos saber qual será a nova altura da coluna de líquido depois que a temperatura aumentar em
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de dilatação térmica tanto para o tubo quanto para o líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a dilatação térmica funciona. A dilatação linear de um material devido a uma mudança de temperatura é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a variação no comprimento, -
é o coeficiente de dilatação linear, -
é o comprimento inicial, -
é a variação de temperatura.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao tubo. A altura inicial do tubo é
, então após a dilatação térmica, a nova altura do tubo será:
Onde
é o coeficiente de dilatação do tubo.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o líquido. A coluna de líquido inicialmente tem altura
. A dilatação do líquido também segue a mesma regra:
Então, a nova altura do líquido devido à expansão térmica é:
Onde
é o coeficiente de dilatação do líquido.
Passo 5
Contudo, não é só o líquido que está se expandindo. O próprio tubo está aumentando sua altura, o que pode afetar a altura da coluna de líquido. Para encontrar a altura final real da coluna de líquido, precisamos considerar a expansão tanto do tubo quanto do líquido.
A nova altura do líquido relativa ao tubo expandido será a razão entre a altura expandida do líquido e a altura expandida do tubo:
Simplificando, temos:
Resposta
A altura final da coluna de líquido após a variação de temperatura
é:
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(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
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e
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e
são vetores unitários das direções horizontal e vertical, respectivamente. Considere:
- as componentes
da velocidade inicial da partícula - e as coordenadas da posição da partícula
no instante
Aplique as expressões (3) e (4) para determinar:
3.a) o vetor velocidadepara um instante qualquer