Uma tubulação de água com diâmetro D transporta água para o porão de uma casa com velocidade V e pressão P. Considere que o diâmetro da tubulação é reduzido até metade de seu valor quando a tubulação sobe até a altura H em relação ao porão. Obtenha a condição sobre H e V para que a água chegue até a altura H com pressão que é metade de P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tubulação de água com diâmetro que transporta água pro porão com uma velocidade e pressão . Quando a tubulação sobe até uma altura em relação ao porão, o diâmetro dela diminui para metade, ou seja, . A gente precisa descobrir qual a condição entre e pra que a água chegue até essa altura com a pressão reduzida para metade de .
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente a equação de continuidade e a equação de Bernoulli. A equação de continuidade vai nos ajudar a relacionar as velocidades nos diferentes diâmetros da tubulação, e a equação de Bernoulli vai ligar a pressão, a velocidade e a altura da água.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a equação de continuidade. Ela diz que, num fluxo incompressível, o produto da área da seção transversal da tubulação pela velocidade do fluido é constante. Ou seja:
A1 V1 = A2 V2
Onde:
  • A2 = pi ( D4 )^2 = 14 pi ( D2 )^2 = A14 e A1 V = A14 V2 implies V2 = 4V são as áreas das seções transversais nos pontos 1 e 2 da tubulação.
  • e são as velocidades da água nesses pontos.
Como o diâmetro diminui para metade, o raio também diminui para metade, então:
Portanto:
Então, a velocidade da água no ponto 2 é quatro vezes a velocidade no ponto 1.

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluxo estático. A equação é:
P1 + 12 rho V1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho V2^2 + rho g h2
Onde:
  • P + 12 rho V^2 = P2 + 12 rho (4V)^2 + rho g H é a pressão,
  • é a densidade da água,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a altura.
Vamos considerar o ponto 1 no porão ( ) e o ponto 2 na altura ( ). A pressão no ponto 2 deve ser metade da pressão no ponto 1, então .
Substituindo esses valores na equação de Bernoulli:

Passo 4

Vamos simplificar a equação:
P + 12 rho V^2 = P2 + 12 rho (16V^2) + rho g H
P + 12 rho V^2 = P2 + 8 rho V^2 + rho g H
Subtraindo P2 + 12 rho V^2 = 8 rho V^2 + rho g H de ambos os lados:
P2 = (8 rho V^2 - 12 rho V^2) + rho g H
Subtraindo P2 = 152 rho V^2 + rho g H de ambos os lados:
rho g H = P2 - 152 rho V^2
H = P2 rho g - 15 V^22 g
Agora, isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

A condição para que a água chegue até a altura H = P2 rho g - 15 V^22 g com pressão metade de é:

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