Uma tubulação de água com diâmetro
transporta água para o porão de uma casa com velocidade
e pressão
. Considere que o diâmetro da tubulação é reduzido até metade de seu valor quando a tubulação sobe até a altura
em relação ao porão. Obtenha a condição sobre
e
para que a água chegue até a altura
com pressão que é metade de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tubulação de água com diâmetro
que transporta água pro porão com uma velocidade
e pressão
. Quando a tubulação sobe até uma altura
em relação ao porão, o diâmetro dela diminui para metade, ou seja,
. A gente precisa descobrir qual a condição entre
e
pra que a água chegue até essa altura
com a pressão reduzida para metade de
.
Pra resolver isso, vamos usar conceitos de dinâmica dos fluidos, especificamente a equação de continuidade e a equação de Bernoulli. A equação de continuidade vai nos ajudar a relacionar as velocidades nos diferentes diâmetros da tubulação, e a equação de Bernoulli vai ligar a pressão, a velocidade e a altura da água.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a equação de continuidade. Ela diz que, num fluxo incompressível, o produto da área da seção transversal da tubulação pela velocidade do fluido é constante. Ou seja:
Onde:
-
e são as áreas das seções transversais nos pontos 1 e 2 da tubulação. -
e são as velocidades da água nesses pontos.
Como o diâmetro diminui para metade, o raio também diminui para metade, então:
Portanto:
Então, a velocidade da água no ponto 2 é quatro vezes a velocidade no ponto 1.
Passo 3
Agora, vamos usar a equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluxo estático. A equação é:
Onde:
-
é a pressão, -
é a densidade da água, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Vamos considerar o ponto 1 no porão (
) e o ponto 2 na altura
(
). A pressão no ponto 2 deve ser metade da pressão no ponto 1, então
.
Substituindo esses valores na equação de Bernoulli:
Passo 4
Vamos simplificar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, isolando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A condição para que a água chegue até a altura
com pressão metade de
é:
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