Uma tubulação vertical de 150 mm de diâmetro apresenta, em um pequeno trecho, uma seção contraída de 75 mm , onde a pressão é de 10,3 mca. A três metros acima desse ponto, a pressão eleva-se para 14,7 mca. Desprezando as perdas de carga, calcule a vazão e a velocidade ao longo do tubo.

Resposta: V1: 3,1 m / s ; V2=12,4 m / s ; Q=0,055 m^3 / s

Passo 1

Vamos entender o problema: temos uma tubulação vertical com diâmetro de 150 mm que, em um trecho, se contrai para 75 mm. Nesse ponto contraído, a pressão é de , e 3 metros acima, a pressão sobe para . Queremos calcular a vazão ( ) e as velocidades do fluido ao longo do tubo, desconsiderando perdas de carga.
Para resolver isso, vamos usar os conceitos de conservação da massa (Lei da Continuidade) e a Equação de Bernoulli.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os diâmetros de milímetros para metros:
D1 = 150 , mm = 0,150 , m
D2 = 75 , mm = 0,075 , m

Passo 3

Calculamos a área das seções circulares dos dois diâmetros usando a fórmula da área do círculo:
A = pi D^24
Então,
A1 = pi (0,150)^24 approx 0,0177 , m² ²
A2 = pi (0,075)^24 approx 0,00442 , m² ²

Passo 4

Pela Lei da Continuidade, a vazão ( Q = A1 V1 = A2 V2 ) é constante ao longo da tubulação. Isso significa que:
Onde é a velocidade no trecho de diâmetro 150 mm e é a velocidade no trecho de diâmetro 75 mm.

Passo 5

Agora, usamos a Equação de Bernoulli entre dois pontos na tubulação. Essa equação relaciona a pressão, a velocidade e a altura em dois pontos diferentes:
P1 + 12 rho V1^2 + rho g h1 = P2 + 12 rho V2^2 + rho g h2
Onde:
  • P1 + 12 rho V1^2 + rho g (h + 3) = P2 + 12 rho V2^2 + rho g h é a pressão
  • P1 + 12 rho V1^2 + 3 rho g = P2 + 12 rho V2^2 é a densidade da água ( ³)
  • é a velocidade do fluido
  • é a aceleração da gravidade ( ²)
  • é a altura
Como a altura difere em 3 metros entre os pontos, ajustamos a equação:
Simplificando:

Passo 6

Sabemos que:
V2 = A1A2 V1
Calculando a razão das áreas:
A1A2 = 0,01770,00442 approx 4
Então,
V2 = 4 V1

Passo 7

Substituímos 14,7 + 12 V1^2 / g + 3 = 10,3 + 12 (4 V1)^2 / g na Equação de Bernoulli:
17,7 + V1^22g = 10,3 + 16 V1^22g
Simplificando:
7,4 = 15 V1^22g
Rearranjando para isolar V1^2 = 7,4 times 2 times 9,8115 approx 9,671 :
V1 = raiz9,671 approx 3,1 , m/s
Então,

Passo 8

Agora, calculamos V2 = 4 times 3,1 = 12,4 , m/s :
Q = A1 V1 = 0,0177 times 3,1 approx 0,055 , m³/s
E a vazão :
³

Resposta

V1: 3,1 , m/s ; V2 = 12,4 , m/s ; Q = 0,055 , m^3/s

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