(a) In a two-body scattering event, A+B C+D, it is convenient to introduce the Mandelstam variables
s & equiv(pA+pB)^2 / c^2 t & equiv(pA-pC)^2 / c^2 u & =(pA-pD)^2 / c^2
Show that s+t+u=mA^2+mB^2+mC^2+mD^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre colisões de duas partículas, ou seja, quando duas partículas e colidem e resultam em duas novas partículas e . O conteúdo principal aqui é a Teoria da Relatividade e as variáveis de Mandelstam, que são ferramentas úteis para descrever esses tipos de interações. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas variáveis são definidas e como elas se relacionam com as massas das partículas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são definidas as variáveis de Mandelstam. Elas são dadas por:
s & equiv (pA + pB)^2c^2 t & equiv (pA - pC)^2c^2 u & equiv (pA - pD)^2c^2
Aqui, são os quatro-momentos das partículas , respectivamente, e é a velocidade da luz.

Passo 3

Nosso objetivo é mostrar que a soma dessas três variáveis satisfaz a seguinte relação:
s + t + u = mA^2 + mB^2 + mC^2 + mD^2
Para isso, vamos expandir cada uma das variáveis usando as propriedades dos quatro-momentos e das massas das partículas.

Passo 4

Primeiro, vamos expandir s = (pA + pB)^2c^2 = pA^2 + 2 pA cdot pB + pB^2c^2 :
s = mA^2 c^2 + 2 pA cdot pB + mB^2 c^2c^2 = mA^2 + mB^2 + 2 pA cdot pBc^2
Sabemos que para qualquer partícula (onde é a massa da partícula). Então:

Passo 5

Agora, vamos expandir t = (pA - pC)^2c^2 = pA^2 - 2 pA cdot pC + pC^2c^2 :
t = mA^2 c^2 - 2 pA cdot pC + mC^2 c^2c^2 = mA^2 + mC^2 - 2 pA cdot pCc^2
Substituindo e :

Passo 6

Da mesma forma, vamos expandir u = (pA - pD)^2c^2 = pA^2 - 2 pA cdot pD + pD^2c^2 :
u = mA^2 c^2 - 2 pA cdot pD + mD^2 c^2c^2 = mA^2 + mD^2 - 2 pA cdot pDc^2
Substituindo e :

Passo 7

Agora, vamos somar s + t + u = (mA^2 + mB^2 + 2 pA cdot pBc^2) + (mA^2 + mC^2 - 2 pA cdot pCc^2) + (mA^2 + mD^2 - 2 pA cdot pDc^2) :
s + t + u = 3 mA^2 + mB^2 + mC^2 + mD^2 + 2 pA cdot pB - 2 pA cdot pC - 2 pA cdot pDc^2
Somando os termos semelhantes:

Passo 8

Observamos que, pelo conservação do momento, temos:
pA + pB = pC + pD Rightarrow pA = pC + pD - pB
Multiplicando ambos os lados por pA cdot pA = pA cdot pC + pA cdot pD - pA cdot pB :
mA^2 c^2 = pA cdot pC + pA cdot pD - pA cdot pB
Sabendo que pA cdot pB = pA cdot pC + pA cdot pD - mA^2 c^2 , podemos reescrever:
Isolando :

Passo 9

Substituindo isso na expressão de s + t + u = 3 mA^2 + mB^2 + mC^2 + mD^2 + 2 (pA cdot pC + pA cdot pD - mA^2 c^2) - 2 pA cdot pC - 2 pA cdot pDc^2 :
s + t + u = 3 mA^2 + mB^2 + mC^2 + mD^2 + -2 mA^2 c^2c^2 = 3 mA^2 + mB^2 + mC^2 + mD^2 - 2 mA^2 = mA^2 + mB^2 + mC^2 + mD^2
Simplificando os termos:

Resposta

Portanto, mostramos que:
s + t + u = mA^2 + mB^2 + mC^2 + mD^2

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