(a) In a two-body scattering event,
, it is convenient to introduce the Mandelstam variables
Show that
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre colisões de duas partículas, ou seja, quando duas partículas
e
colidem e resultam em duas novas partículas
e
. O conteúdo principal aqui é a Teoria da Relatividade e as variáveis de Mandelstam, que são ferramentas úteis para descrever esses tipos de interações. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas variáveis são definidas e como elas se relacionam com as massas das partículas envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são definidas as variáveis de Mandelstam. Elas são dadas por:
Aqui,
são os quatro-momentos das partículas
, respectivamente, e
é a velocidade da luz.
Passo 3
Nosso objetivo é mostrar que a soma dessas três variáveis satisfaz a seguinte relação:
Para isso, vamos expandir cada uma das variáveis
usando as propriedades dos quatro-momentos e das massas das partículas.
Passo 4
Primeiro, vamos expandir
:
Sabemos que
para qualquer partícula (onde
é a massa da partícula). Então:
Passo 5
Agora, vamos expandir
:
Substituindo
e
:
Passo 6
Da mesma forma, vamos expandir
:
Substituindo
e
:
Passo 7
Agora, vamos somar
:
Somando os termos semelhantes:
Passo 8
Observamos que, pelo conservação do momento, temos:
Multiplicando ambos os lados por
:
Sabendo que
, podemos reescrever:
Isolando
:
Passo 9
Substituindo isso na expressão de
:
Simplificando os termos:
Resposta
Portanto, mostramos que: