Two uniformly charged, infinite, nonconducting planes are parallel to a plane and positioned at and cm . The charge densities on the planes are and +25 , respectively. What is the magnitude of the potential difference between the origin and the point on the axis at ? (Hint: Use Gauss

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas placas infinitas carregadas, paralelas ao plano , uma em cm com densidade de carga nC/m² e outra em cm com densidade de carga nC/m². A pergunta é qual a diferença de potencial entre a origem ( ) e o ponto em cm. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico criado por essas placas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma placa infinita com densidade de carga cria um campo elétrico uniforme de magnitude , onde é a constante de permissividade do vácuo ( C²/(N·m²)). O campo é perpendicular à placa e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se for negativa.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido a cada placa:
  • Para a placa em cm com nC/m²:
    O campo produzido por essa placa aponta para dentro (negativo) no lado direito (para cm).
  • Para a placa em cm com nC/m²:
    O campo produzido por essa placa aponta para fora (positivo) no lado direito (para cm).

Passo 4

Entre as placas (entre cm e cm), os campos se somam:
Para cm, apenas o campo da placa em cm contribui:
é

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre e cm. Primeiro, dividimos o caminho em duas partes:
  1. De a cm: onde o campo é N/C
  2. De cm a cm: onde o campo é é N/C
A diferença de potencial é dada por:
é
Calculando cada integral:

Resposta

A magnitude da diferença de potencial entre a origem e o ponto em cm é de 282 volts.

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