Two uniformly charged, infinite, nonconducting planes are parallel to a y z plane and positioned at x=-50 cm and x=+50 cm . The charge densities on the planes are -50 nC / m^2 and +25 nC / m^2, respectively. What is the magnitude of the potential difference between the origin and the point on the x axis at x=+80 cm ? (Hint: Use Gauss

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas placas infinitas carregadas, paralelas ao plano yz, uma em x=-50 cm com densidade de carga -50 nC/m² e outra em x=+50 cm com densidade de carga +25 nC/m². A pergunta é qual a diferença de potencial entre a origem ( x=0) e o ponto em x=+80 cm. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico criado por essas placas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma placa infinita com densidade de carga sigma cria um campo elétrico uniforme de magnitude E = sigma2varepsilon0, onde varepsilon0 é a constante de permissividade do vácuo ( varepsilon0 approx 8,85 times 10^-12 C²/(N·m²)). O campo é perpendicular à placa e aponta para fora se a carga for positiva e para dentro se for negativa.

Passo 3

Agora, vamos calcular o campo elétrico devido a cada placa:
  • Para a placa em x=-50 cm com sigma1 = -50 nC/m²:
    E1 = sigma12varepsilon0 = -50 times 10^-92 times 8,85 times 10^-12 approx -2,82 times 10^3 , N/C
    O campo produzido por essa placa aponta para dentro (negativo) no lado direito (para x > -50 cm).
  • Para a placa em x=+50 cm com sigma2 = +25 nC/m²:
    E2 = sigma22varepsilon0 = 25 times 10^-92 times 8,85 times 10^-12 approx 1,41 times 10^3 , N/C
    O campo produzido por essa placa aponta para fora (positivo) no lado direito (para x > +50 cm).

Passo 4

Entre as placas (entre -50 cm e +50 cm), os campos se somam:
Eentre = E1 + E2 = -2,82 times 10^3 + 1,41 times 10^3 = -1,41 times 10^3 , N/C
Para x > +50 cm, apenas o campo da placa em +50 cm contribui:
Ealém = E2 = 1,41 times 10^3 , N/C é

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença de potencial entre x=0 e x=80 cm. Primeiro, dividimos o caminho em duas partes:
  1. De x=0 a x=+50 cm: onde o campo é Eentre = -1,41 times 10^3 N/C
  2. De x=+50 cm a x=+80 cm: onde o campo é Ealém = 1,41 times 10^3é N/C
A diferença de potencial é dada por:
Deé
Calculando cada integral:
De

Resposta

A magnitude da diferença de potencial entre a origem e o ponto em x=+80 cm é de 282 volts.

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