Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
© |ccc0 & 0 & 1 0 & 5 & 2 3 & -1 & 4|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinante de matriz. A gente tem que calcular o valor do determinante da seguinte matriz:
0 & 0 & 1 0 & 5 & 2 3 & -1 & 4
Para isso, vamos usar as propriedades de determinantes e algumas estratégias para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma linha ou coluna com muitos zeros, facilita bastante a hora de calcular o determinante. Isso porque, na expansão de cofactores, os termos com zero acabam zerando, deixando o cálculo mais simples.

Passo 3

Observando a matriz, vemos que a primeira linha tem dois zeros. Então, vamos expandir o determinante por essa linha. A fórmula para a expansão de cofactores na primeira linha é:
det(A) = a1,1C1,1 + a1,2C1,2 + a1,3C1,3
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. Primeiro termo ( ):
    Como , todo esse termo vai ser zero. Não precisamos calcular o cofator.
  2. Segundo termo ( ):
    Também temos , então esse termo também é zero.
  3. Terceiro termo ( ):
    Aqui temos . Agora, precisamos calcular o cofator .

Passo 5

O cofator C1,3 = (-1)^1+3 cdot det 0 & 5 3 & -1 é dado por:
det 0 & 5 3 & -1 = (0)(-1) - (5)(3) = 0 - 15 = -15
Calculando a determinante da matriz 2x2:
C1,3 = (-1)^4 cdot (-15) = 1 cdot (-15) = -15
Então:

Passo 6

Agora, voltando à expansão original:
det(A) = 0 + 0 + 1 cdot (-15) = -15

Resposta

O valor do determinante é .

Exercícios relacionados

Construa a matriz de ordem 3, definida por ai j=ll2 i^2-5 j, & se i= j
Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(f) |lll0 & a & 0 b & c & d 0 & e & 0|
Dadas as matrizes
A3 times 4 & =[cccc 2 & 5 & 1 & 4 -1 & -3 & -12 & 0 1 & -1 & 3 & 6 ], B3 times 4 & =[cccc -3 & 2 & -3 & 1 -4 & 3 & -2 & 5 5 & 2 & 3 & 6 ]
Calcule:
b) 2 A+3 B
Se u=3 i-j-2 k, v=2 i+4 j-k e w=-i+k, determinar (k)(u times v) cdot w