Se u=2 i-j+4 k, v=2 i+6 j-2 k e w=-2 i+2 k, calcule: (u times w)+(w times v)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores juntos! A questão nos dá três vetores:
u = 2i - j + 4k, v = 2i + 6j - 2k, w = -2i + 2k
E pede para calcular:
(u times w) + (w times v)
Vamos precisar usar o produto vetorial entre vetores e depois somar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores iniciais. A fórmula para o produto vetorial a times b = i & j & k ax & ay & az bx & by & bz é:
Ou seja, usamos determinantes para calcular cada componente do vetor resultante.

Passo 3

Vamos calcular primeiro u = (2, -1, 4), w = (-2, 0, 2) . Substituindo os componentes:
u times w = i & j & k 2 & -1 & 4 -2 & 0 & 2
Aplicando a fórmula do produto vetorial:
(-1)(2) - (4)(0) = -2
Calculando o determinante:
  • Componente -(2 cdot 2 - 4 cdot (-2)) = -(4 + 8) = -12 :
2 cdot 0 - (-1) cdot (-2) = 0 - 2 = -2
  • Componente u times w = -2i - 12j - 2k (lembre-se de mudar o sinal):
  • Componente :
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular w = (-2, 0, 2), v = (2, 6, -2) . Primeiro, substituindo os componentes:
w times v = i & j & k -2 & 0 & 2 2 & 6 & -2
Aplicando a fórmula do produto vetorial:
0 cdot (-2) - 2 cdot 6 = 0 - 12 = -12
Calculando o determinante:
  • Componente - [ (-2) cdot (-2) - 2 cdot 2 ] = - [4 - 4] = -0 = 0 :
-2 cdot 6 - 0 cdot 2 = -12 - 0 = -12
  • Componente w times v = -12i + 0j - 12k (mudando o sinal):
  • Componente :
Portanto,

Passo 5

Agora que temos u times w + w times v = (-2i - 12j - 2k) + (-12i + 0j - 12k) e -2 + (-12) = -14 , vamos somar esses dois vetores:
-12 + 0 = -12
Somando componente a componente:
  • Componente -2 + (-12) = -14 :
  • Componente :
  • Componente :

Resposta

O resultado da expressão -14,i - 12,j - 14,k é:

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