Verifique se são operadores lineares no espaço
tal que
;
Passo 1
Beleza! O exercício quer a gente verificar se o operador
definido por
é linear. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente a definição de operadores lineares. Para resolver, vamos precisar checar duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o operador
é aditivo. Ou seja, precisa mostrar que
para quaisquer polinômios
e
em
.
Sabemos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então:
Isso confirma que
preserva a aditividade.
Passo 3
Agora, vamos checar a homogeneidade. Precisamos mostrar que
para qualquer polinômio
em
e para todo escalar
.
Calculando:
Isso mostra que
também preserva a homogeneidade.
Resposta
Como
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade,
é um operador linear em
.