Verifique se são operadores lineares no espaço
tal que ;

Passo 1

Beleza! O exercício quer a gente verificar se o operador definido por é linear. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente a definição de operadores lineares. Para resolver, vamos precisar checar duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o operador é aditivo. Ou seja, precisa mostrar que para quaisquer polinômios e em .
Sabemos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então:
Isso confirma que preserva a aditividade.

Passo 3

Agora, vamos checar a homogeneidade. Precisamos mostrar que para qualquer polinômio em e para todo escalar .
Calculando:
Isso mostra que também preserva a homogeneidade.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, é um operador linear em .

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(UFF) Se , o valor do módulo do quociente entre z e o seu conjugado é:
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