Verifique se são operadores lineares no espaço Pn(R)
F: Pn(R) Pn(R) tal que F(f(t))=t f^prime(t), forall f(t) in Pn(R);

Passo 1

Beleza! O exercício quer a gente verificar se o operador definido por é linear. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente a definição de operadores lineares. Para resolver, vamos precisar checar duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o operador F(f + g)(t) = t cdot (f + g)^prime(t) = t cdot f^prime(t) + t cdot g^prime(t) = F(f)(t) + F(g)(t) é aditivo. Ou seja, precisa mostrar que para quaisquer polinômios e em .
Sabemos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então:
Isso confirma que preserva a aditividade.

Passo 3

Agora, vamos checar a homogeneidade. Precisamos mostrar que F(c cdot f)(t) = t cdot (c cdot f)^prime(t) = t cdot (c cdot f^prime(t)) = c cdot t cdot f^prime(t) = c cdot F(f)(t) para qualquer polinômio em e para todo escalar .
Calculando:
Isso mostra que também preserva a homogeneidade.

Resposta

Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, é um operador linear em .

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