Verifique se são operadores lineares no espaço tal que ;
Passo 1
Beleza! O exercício quer a gente verificar se o operador definido por é linear. Isso envolve conceitos de Álgebra Linear, especificamente a definição de operadores lineares. Para resolver, vamos precisar checar duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o operador é aditivo. Ou seja, precisa mostrar que para quaisquer polinômios e em .
Sabemos que a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então:
Isso confirma que preserva a aditividade.
Passo 3
Agora, vamos checar a homogeneidade. Precisamos mostrar que para qualquer polinômio em e para todo escalar .
Calculando:
Isso mostra que também preserva a homogeneidade.
Resposta
Como satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade, é um operador linear em .