(UFPA-1995)O conjunto solução da equação
32(x+2)=12 x-4-2x^2-4 é: é
a) 2
b) 3
c) 0
d) 4
e) 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação fracionária e precisa descobrir quais valores de satisfazem essa equação. Vamos usar conceitos de álgebra, como operações com frações e resolução de equações. Vamos precisar manipular as expressões fracionárias e encontrar um denominador comum para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação toda direitinho:
32(x+2) = 12x - 4 - 2x^2 - 4
Nosso objetivo é encontrar o valor de que torna essa igualdade verdadeira.

Passo 3

Vamos observar os denominadores das frações:
  • que pode ser fatorado como
  • que é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado como
Então, os denominadores fatorados são , e .

Passo 4

Para eliminar os denominadores, vamos encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) deles. Observando os denominadores fatorados:
O MMC será .

Passo 5

Agora, multiplicamos cada termo da equação pelo MMC para eliminar os denominadores:
2(x - 2)(x + 2) cdot 32(x + 2) = 2(x - 2)(x + 2) cdot 12(x - 2) - 2(x - 2)(x + 2) cdot 2(x - 2)(x + 2)
Simplificando cada termo:
  • No primeiro termo, 3(x - 2) = (x + 2) - 4 e se cancelam, também se cancela, restando
  • No segundo termo, e se cancelam, se cancela, restando
  • No terceiro termo, se cancela, restando
Então, a equação simplificada fica:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Primeiro, distribuímos o 3:
3x - 6 = x + 2 - 4
Simplificando o lado direito:
3x - 6 = x - 2
Agora, vamos trazer todos os termos com 3x - x - 6 = -2 para um lado e os números para o outro:
Subtraímos 2x - 6 = -2 de ambos os lados:
2x = 4
Isso dá:
x = 2
Agora, adicionamos 6 em ambos os lados:
Finalmente, dividimos por 2:

Passo 7

Mas, precisamos verificar se não causa divisão por zero nos denominadores originais. Vamos conferir:
  • → Ok
  • → Divisão por zero!
  • → Divisão por zero!
Como torna alguns denominadores iguais a zero, essa solução não é válida. Portanto, a equação não possui soluções reais.

Resposta

c) 0

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