Una sustancia radioactiva se desintegra con una velocidad que es proporcional a la cantidad de sustancia existente en ese instante. Se llamamos
a la sustancia en gramos existente en un instante cualquiera de tiempo, se tiene un modelo que relaciona a la velocidad de desintegración con la cantidad presente sin desintegrarse
k. Encuentra una expresión para
sabiendo que
k. Encuentra una expresión para
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma substância radioativa que está se desintegrando, e a velocidade dessa desintegração depende da quantidade que ainda está presente. Isso envolve equações diferenciais, mais especificamente as que modelam decay exponencial. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar a equação.
Passo 2
A equação que descreve esse processo é:
Aqui,
representa a quantidade da substância em gramas no tempo
, e
é a constante que mostra a taxa de desintegração.
Passo 3
Primeiro, vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Isso significa deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos usar a função exponencial para eliminar o logaritmo:
Vamos chamar
de
, então:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
usando a condição inicial que nos foi dada:
. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Portanto,
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão de
:
Podemos reescrever isso de forma mais simples:
Resposta
A expressão para
é:
Exercícios relacionados
Una partícula se mueve con velocidad variable en función de la posición según la expresión
en
y las variables posición y tiempo se relacionan mediante la ecuación
(
en segundos).
j. Hallar la posición de la partícula en el instante en que la fuerza tiene módulo máximo.
j. Hallar la posición de la partícula en el instante en que la fuerza tiene módulo máximo.
Una población de bacterias crece a un ritmo
en días. Se sabe que inicialmente hay 1000 bacterias.
f. Hallar la cantidad aproximada de bacterias a los 100 días.
f. Hallar la cantidad aproximada de bacterias a los 100 días.
Un resorte con una longitud natural de 10 pulgadas se alarga 1,5 pulgadas bajo un peso de 8 libras. Calcule el trabajo efectuado al estirar el resorte a) de su longitud natural a una longitud de 14 pulgadas y b) de una longitud de 11 pulgadas a una de 13 pulgadas.
Exprese la suma o la resta como una sola integral de la forma