Una sustancia radioactiva se desintegra con una velocidad que es proporcional a la cantidad de sustancia existente en ese instante. Se llamamos a la sustancia en gramos existente en un instante cualquiera de tiempo, se tiene un modelo que relaciona a la velocidad de desintegración con la cantidad presente sin desintegrarse
k. Encuentra una expresión para sabiendo que

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma substância radioativa que está se desintegrando, e a velocidade dessa desintegração depende da quantidade que ainda está presente. Isso envolve equações diferenciais, mais especificamente as que modelam decay exponencial. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar a equação.

Passo 2

A equação que descreve esse processo é:
Aqui, representa a quantidade da substância em gramas no tempo , e é a constante que mostra a taxa de desintegração.

Passo 3

Primeiro, vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Isso significa deixar todos os termos com de um lado e os termos com do outro. Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é , onde é a constante de integração.

Passo 5

Para resolver para , vamos usar a função exponencial para eliminar o logaritmo:
Vamos chamar de , então:

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de usando a condição inicial que nos foi dada: . Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Portanto,

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na expressão de :
Podemos reescrever isso de forma mais simples:

Resposta

A expressão para é:

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