Una sustancia radioactiva se desintegra con una velocidad que es proporcional a la cantidad de sustancia existente en ese instante. Se llamamos
a la sustancia en gramos existente en un instante cualquiera de tiempo, se tiene un modelo que relaciona a la velocidad de desintegración con la cantidad presente sin desintegrarse
k. Encuentra una expresión para
sabiendo que
k. Encuentra una expresión para
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma substância radioativa que está se desintegrando, e a velocidade dessa desintegração depende da quantidade que ainda está presente. Isso envolve equações diferenciais, mais especificamente as que modelam decay exponencial. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar a equação.
Passo 2
A equação que descreve esse processo é:
Aqui,
representa a quantidade da substância em gramas no tempo
, e
é a constante que mostra a taxa de desintegração.
Passo 3
Primeiro, vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Isso significa deixar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para resolver para
, vamos usar a função exponencial para eliminar o logaritmo:
Vamos chamar
de
, então:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
usando a condição inicial que nos foi dada:
. Substituindo esses valores na equação:
Simplificando:
Portanto,
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na expressão de
:
Podemos reescrever isso de forma mais simples:
Resposta
A expressão para
é: