Una sustancia radioactiva se desintegra com uma velocidade que é proporcional à quantidade de substância existente naquele instante. Se chamamos
à substância em gramas existente em um instante qualquer de tempo, se tem um modelo que relaciona à velocidade de desintegração com a quantidade presente sem desintegrar-se
I. Hallar la masa inicial y la vida media de dicho elemento
I. Hallar la masa inicial y la vida media de dicho elemento
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma substância radioativa que se desintegra de forma que a velocidade dessa desintegração é proporcional à quantidade presente no momento. O modelo matemático dado é:
Aqui,
representa a quantidade da substância em gramas no tempo
. Precisamos encontrar:
- A massa inicial da substância (
). - A vida média (ou meia-vida) desse elemento.
Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de meia-vida em decaimento radioativo.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a expressão geral de
. A equação dada é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver separando as variáveis.
Passo 3
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados da equação:
Passo 4
Integrando, obtemos:
Onde
é a constante de integração. Podemos resolver para
exponenciando ambos os lados:
Vamos chamar
de
, que representa a massa inicial da substância.
Passo 5
Assim, a solução geral é:
Aqui,
é a massa inicial da substância quando
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a meia-vida, que é o tempo necessário para que a quantidade da substância diminua para metade de sua massa inicial (
).
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, resolvemos para
:
Calculando:
Resposta
A massa inicial da substância é
gramas e a vida média (meia-vida) do elemento é aproximadamente
unidades de tempo.
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