Una sustancia radioactiva se desintegra com uma velocidade que é proporcional à quantidade de substância existente naquele instante. Se chamamos à substância em gramas existente em um instante qualquer de tempo, se tem um modelo que relaciona à velocidade de desintegração com a quantidade presente sem desintegrar-se
I. Hallar la masa inicial y la vida media de dicho elemento

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma substância radioativa que se desintegra de forma que a velocidade dessa desintegração é proporcional à quantidade presente no momento. O modelo matemático dado é:
Aqui, representa a quantidade da substância em gramas no tempo . Precisamos encontrar:
  1. A massa inicial da substância ( ).
  2. A vida média (ou meia-vida) desse elemento.
Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de meia-vida em decaimento radioativo.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para encontrar a expressão geral de . A equação dada é:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que podemos resolver separando as variáveis.

Passo 3

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados da equação:

Passo 4

Integrando, obtemos:
Onde é a constante de integração. Podemos resolver para exponenciando ambos os lados:
Vamos chamar de , que representa a massa inicial da substância.

Passo 5

Assim, a solução geral é:
Aqui, é a massa inicial da substância quando .

Passo 6

Agora, vamos encontrar a meia-vida, que é o tempo necessário para que a quantidade da substância diminua para metade de sua massa inicial ( ).
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados:
Sabemos que , então:

Passo 8

Agora, resolvemos para :
Calculando:

Resposta

A massa inicial da substância é gramas e a vida média (meia-vida) do elemento é aproximadamente unidades de tempo.

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