(Unifei-MG) Um projétil de massa
e velocidade
atravessa o bloco de massa
do pêndulo da figura. Sabendo que a velocidade do projétil após atravessar o pêndulo é
, qual é o menor valor de
para que o bloco de massa
dê uma volta completa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil de massa
que entra com uma velocidade inicial
e atravessa um bloco de massa
que está preso a um pêndulo. Depois de passar, a velocidade do projétil é
. Nosso objetivo é encontrar a menor velocidade
necessária para que o bloco de massa
dê uma volta completa no pêndulo. Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos principais da física: conservação da quantidade de movimento e conservação da energia.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento durante a colisão entre o projétil e o bloco. A quantidade de movimento total antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento total após a colisão. A fórmula para quantidade de movimento é
.
Antes da colisão:
- Quantidade de movimento do projétil:
- Quantidade de movimento do bloco:
(já que ele está parado)
Após a colisão:
- Quantidade de movimento do projétil:
- Quantidade de movimento do bloco:
(onde é a velocidade do bloco após a colisão)
Igualando as quantidades de movimento:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade
do bloco logo após a colisão:
Passo 4
O próximo passo é determinar a energia necessária para que o bloco de massa
faça uma volta completa no pêndulo. Para isso, vamos usar a conservação da energia. A energia cinética do bloco logo após a colisão deve ser suficiente para elevar o bloco até a altura máxima do pêndulo, onde toda a energia cinética se converte em energia potencial gravitacional.
A energia cinética inicial do bloco:
A energia potencial no ponto mais alto:
onde
é a altura máxima que o bloco atinge.
Para dar uma volta completa, o bloco precisa subir até uma altura
, onde
é o comprimento do pêndulo (considerando que ele sobe até o ponto mais alto, passando por 180 graus, e precisa de energia para continuar até 360 graus).
Igualando as energias:
Passo 5
Agora, vamos substituir a expressão de
que encontramos na Passo 3 na equação acima:
Resposta
O menor valor de
necessário para que o bloco de massa
dê uma volta completa é: