(Unifei-MG) Um projétil de massa m e velocidade v0 atravessa o bloco de massa M do pêndulo da figura. Sabendo que a velocidade do projétil após atravessar o pêndulo é v02, qual é o menor valor de v0 para que o bloco de massa M dê uma volta completa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um projétil de massa que entra com uma velocidade inicial e atravessa um bloco de massa que está preso a um pêndulo. Depois de passar, a velocidade do projétil é . Nosso objetivo é encontrar a menor velocidade necessária para que o bloco de massa dê uma volta completa no pêndulo. Para resolver isso, vamos precisar usar dois conceitos principais da física: conservação da quantidade de movimento e conservação da energia.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a conservação da quantidade de movimento durante a colisão entre o projétil e o bloco. A quantidade de movimento total antes da colisão deve ser igual à quantidade de movimento total após a colisão. A fórmula para quantidade de movimento é m cdot v0 = m cdot v02 + M cdot V .
Antes da colisão:
  • Quantidade de movimento do projétil:
  • Quantidade de movimento do bloco: (já que ele está parado)
Após a colisão:
  • Quantidade de movimento do projétil: é
  • Quantidade de movimento do bloco: ó (onde é a velocidade do bloco após a colisão)
Igualando as quantidades de movimento:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar a velocidade m cdot v0 - m cdot v02 = M cdot V do bloco logo após a colisão:
m cdot v02 = M cdot V
V = m cdot v02M

Passo 4

O próximo passo é determinar a energia necessária para que o bloco de massa Ecinética = 12 M V^2 faça uma volta completa no pêndulo. Para isso, vamos usar a conservação da energia. A energia cinética do bloco logo após a colisão deve ser suficiente para elevar o bloco até a altura máxima do pêndulo, onde toda a energia cinética se converte em energia potencial gravitacional.
A energia cinética inicial do bloco:
Epotencial = M g h é
A energia potencial no ponto mais alto:
12 M V^2 = M g (2L)
onde 12 V^2 = 2 g L é a altura máxima que o bloco atinge.
Para dar uma volta completa, o bloco precisa subir até uma altura V^2 = 4 g L , onde V = 2 raizg L é o comprimento do pêndulo (considerando que ele sobe até o ponto mais alto, passando por 180 graus, e precisa de energia para continuar até 360 graus).
Igualando as energias:

Passo 5

Agora, vamos substituir a expressão de m cdot v02M = 2 raizg L que encontramos na Passo 3 na equação acima:
m cdot v0 = 4 M raizg L
v0 = 4 M raizg Lm

Resposta

O menor valor de v0 = 4 M raizg Lm necessário para que o bloco de massa dê uma volta completa é:

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