Universidade Federal de Vicosa
Prova - MAF 243 - Cálculo Diferencial e Lnteg
Nome:
Matrícula:
2. ( 25 pontos) Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a
C é qualquer caminho de
a
.
Prova - MAF 243 - Cálculo Diferencial e Lnteg
Nome:
2. ( 25 pontos) Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha que precisa mostrar que é independente do caminho e depois calcular ela. A integral é:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de Campos Vetoriais Conservativos e Integrais de Linha. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo (ou seja, se a integral é independente do caminho) e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. Podemos escrever a integral na forma:
Onde:
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos ver se as derivadas parciais satisfazem a condição:
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, vamos calcular
:
Passo 4
Comparando as duas derivadas:
Como
, o campo é conservativo. Isso significa que a integral de linha é independente do caminho e podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende só de
.
Passo 6
Agora, vamos usar a segunda condição para encontrar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Comparando os termos:
Integrando em relação a
:
Podemos ignorar a constante
porque ela não afeta a derivada.
Passo 7
Então, a função potencial é:
Passo 8
Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando
nos pontos finais do caminho
. Os pontos são de
a
.
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
A integral de linha é independente do caminho e seu valor é: