Universidade Federal de Vicosa
Prova - MAF 243 - Cálculo Diferencial e Lnteg
Nome: Matrícula:
2. ( 25 pontos) Mostre que a integral de linha é independente do caminho e calcule a i
integralC 2 x sen(y) d x+(x^2 cos y-3 y^2) d y
C é qualquer caminho de (1,1) a (3,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral de linha que precisa mostrar que é independente do caminho e depois calcular ela. A integral é:
O conteúdo que vamos usar aqui é o de Campos Vetoriais Conservativos e Integrais de Linha. Vamos precisar verificar se o campo é conservativo (ou seja, se a integral é independente do caminho) e, se for, encontrar uma função potencial para facilitar o cálculo da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes do campo vetorial. Podemos escrever a integral na forma:
integralC P , dx + Q , dy
Onde:
P = 2x sen(y)
Para verificar se o campo é conservativo, precisamos ver se as derivadas parciais satisfazem a condição:
Q = x^2 cos y - 3 y^2

Passo 3

Vamos calcular partial Ppartial y = partialpartial y (2x sen(y)) = 2x cos(y) :
Agora, vamos calcular partial Qpartial x = partialpartial x (x^2 cos y - 3 y^2) = 2x cos(y) :

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
partial Ppartial y = 2x cos(y)
partial Qpartial x = 2x cos(y)
Como df = P , dx + Q , dy , o campo é conservativo. Isso significa que a integral de linha é independente do caminho e podemos encontrar uma função potencial tal que:

Passo 5

Vamos encontrar a função potencial partial fpartial x = P = 2x sen(y) . Sabemos que:
Integrando f(x, y) = integral 2x sen(y) , dx = x^2 sen(y) + g(y) em relação a :
Aqui, é uma função que depende só de .

Passo 6

Agora, vamos usar a segunda condição para encontrar partial fpartial y = Q = x^2 cos(y) - 3 y^2 . Sabemos que:
partial fpartial y = x^2 cos(y) + g'(y) = x^2 cos(y) - 3 y^2
Calculando a derivada de g'(y) = -3 y^2 em relação a g(y) = -y^3 + C :
Comparando os termos:
Integrando em relação a :
Podemos ignorar a constante porque ela não afeta a derivada.

Passo 7

Então, a função potencial é:

Passo 8

Agora que temos a função potencial, podemos calcular a integral de linha simplesmente avaliando f(3, 2) = 3^2 sen(2) - 2^3 = 9 sen(2) - 8 nos pontos finais do caminho f(1, 1) = 1^2 sen(1) - 1^3 = sen(1) - 1 . Os pontos são de a .
Calculando :
Calculando :

Resposta

A integral de linha é independente do caminho e seu valor é:

Exercícios relacionados