Use uma forma apropriada da Regra da Cadeia para determinar partial zpartial s e partial zpartial t.
e) z=xy, x=s^2-t^2, y=4 s t^3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a Regra da Cadeia. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente derivadas parciais e a aplicação da Regra da Cadeia. Precisaremos entender como aplicar a regra para funções compostas e calcular derivadas de funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos permite calcular a derivada de uma função composta. No caso, é uma função de e , que por sua vez são funções de e . Assim, para encontrar e , precisamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais.

Passo 3

A função dada é:
z = xy, x = s^2 - t^2, y = 4 s t^3
Queremos encontrar e .

Passo 4

Vamos começar calculando partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s . Aplicando a Regra da Cadeia:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais necessárias.

Passo 5

Calculando partial zpartial x = 1y, partial zpartial y = -xy^2 e partial xpartial s = 2s, partial ypartial s = 4 t^3 :
Agora, calculamos e :

Passo 6

Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial zpartial s = ( 1y ) cdot 2s + ( -xy^2 ) cdot 4 t^3
Simplificando, temos:
partial zpartial s = 2sy - 4 x t^3y^2

Passo 7

Agora vamos calcular partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t da mesma forma:
partial xpartial t = -2t, partial ypartial t = 12 s t^2
Primeiro, calculamos e :

Passo 8

Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
partial zpartial t = ( 1y ) cdot (-2t) + ( -xy^2 ) cdot 12 s t^2
Simplificando, temos:
partial zpartial t = -2ty - 12 x s t^2y^2

Passo 9

Podemos deixar as expressões em termos de partial zpartial s = 2s4 s t^3 - 4 (s^2 - t^2) t^3(4 s t^3)^2 = 2s4 s t^3 - 4 (s^2 - t^2) t^316 s^2 t^6 = 12 t^3 - s^2 - t^24 s^2 t^3 e partial zpartial t = -2t4 s t^3 - 12 (s^2 - t^2) s t^2(4 s t^3)^2 = -t2 s t^3 - 12 (s^2 - t^2) s t^216 s^2 t^6 = -12 s t^2 - 3 (s^2 - t^2)4 s t^4 substituindo e :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial s = 12 t^3 - s^2 - t^24 s^2 t^3
partial zpartial t = -12 s t^2 - 3 (s^2 - t^2)4 s t^4

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