Use uma forma apropriada da Regra da Cadeia para determinar
.
e)
.
e)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a Regra da Cadeia. Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente derivadas parciais e a aplicação da Regra da Cadeia. Precisaremos entender como aplicar a regra para funções compostas e calcular derivadas de funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos permite calcular a derivada de uma função composta. No caso,
é uma função de
e
, que por sua vez são funções de
e
. Assim, para encontrar
e
, precisamos usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais.
Passo 3
A função dada é:
Queremos encontrar
e
.
Passo 4
Vamos começar calculando
. Aplicando a Regra da Cadeia:
Primeiro, encontramos as derivadas parciais necessárias.
Passo 5
Calculando
e
:
Agora, calculamos
e
:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando, temos:
Passo 7
Agora vamos calcular
da mesma forma:
Primeiro, calculamos
e
:
Passo 8
Substituindo essas derivadas na expressão da Regra da Cadeia:
Simplificando, temos:
Passo 9
Podemos deixar as expressões em termos de
e
substituindo
e
:
Resposta
As derivadas parciais são: