Usando apenas análise dimensional, mostre como a velocidade
das ondas em um fluido depende de sua densidade
, do seu módulo de elasticidade volumétrico
(que tem unidades de pressão, que é força por área).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de análise dimensional juntos! A questão pede para descobrir como a velocidade das ondas
em um fluido depende da densidade
e do módulo de elasticidade volumétrica
. Vamos precisar entender as unidades de cada uma dessas grandezas para encontrar a relação correta entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é análise dimensional. Basicamente, ela nos ajuda a descobrir como diferentes grandezas físicas estão relacionadas apenas olhando para suas unidades. Não precisamos conhecer as constantes exatas, só as dimensões envolvidas.
Passo 3
Vamos listar as unidades de cada grandeza:
- Velocidade
: Tem unidades de distância sobre tempo, ou seja, . - Densidade
: É massa por volume, então . - Módulo de elasticidade volumétrica
: É uma pressão, que é força por área. A força tem unidades de massa vezes aceleração ( ), então .
Passo 4
Queremos encontrar uma relação onde
depende de
e
. Vamos supor que
é igual a
e
elevados a algumas potências desconhecidas:
Onde
é uma constante adimensional e
,
são os expoentes que precisamos encontrar.
Passo 5
Agora, vamos substituir as unidades na equação:
Simplificando:
Passo 6
Para que as duas partes da equação sejam iguais, as potências de cada unidade devem ser iguais nos dois lados. Então, temos o sistema de equações:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
⇒
Substituindo
na primeira equação:
⇒
Passo 8
Agora, substituímos os valores de
e
na expressão inicial:
Como estamos usando apenas análise dimensional, a constante
é geralmente assumida como 1.
Resposta
A velocidade das ondas no fluido é dada por
.
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The values used in the problem statement make it easy to see that the first part of the trip (at
) takes 1 hour, and the second part (at
) also takes 1 hour. Expressed in decimal form, the time left is 1.25 hour, and the distance that remains is 160 km . Thus, a speed
is needed.
We use Eq. 2-2 for average velocity and Eq. 2-4 for instantaneous velocity, and work with distances in centimeters and times in seconds.
© At , the instantaneous velocity is
.
© At
Responda às seguintes perguntas com sim ou não. Duas grandezas devem ter as mesmas dimensões:
Se estiverem sendo multiplicadas?
Se estiverem sendo multiplicadas?
A figura a seguir mostra o tronco de um cone. Combine cada uma das expressões:
Com a quantidade que ela descreve:
A circunferência total das faces circulares planas;
A circunferência total das faces circulares planas;