Usando apenas análise dimensional, mostre como a velocidade v das ondas em um fluido depende de sua densidade rho, do seu módulo de elasticidade volumétrico B (que tem unidades de pressão, que é força por área).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de análise dimensional juntos! A questão pede para descobrir como a velocidade das ondas em um fluido depende da densidade e do módulo de elasticidade volumétrica . Vamos precisar entender as unidades de cada uma dessas grandezas para encontrar a relação correta entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é análise dimensional. Basicamente, ela nos ajuda a descobrir como diferentes grandezas físicas estão relacionadas apenas olhando para suas unidades. Não precisamos conhecer as constantes exatas, só as dimensões envolvidas.

Passo 3

Vamos listar as unidades de cada grandeza:
  • Velocidade : Tem unidades de distância sobre tempo, ou seja, .
  • Densidade : É massa por volume, então .
  • Módulo de elasticidade volumétrica : É uma pressão, que é força por área. A força tem unidades de massa vezes aceleração ( ), então .

Passo 4

Queremos encontrar uma relação onde v = k cdot rho^a cdot B^b depende de e . Vamos supor que é igual a e elevados a algumas potências desconhecidas:
Onde é uma constante adimensional e , são os expoentes que precisamos encontrar.

Passo 5

Agora, vamos substituir as unidades na equação:
LT = ( ML^3 )^a cdot ( ML cdot T^2 )^b
Simplificando:
LT = M^a+b cdot L^-3a - b cdot T^-2b

Passo 6

Para que as duas partes da equação sejam iguais, as potências de cada unidade devem ser iguais nos dois lados. Então, temos o sistema de equações:
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
Substituindo na primeira equação:

Passo 8

Agora, substituímos os valores de v = k cdot rho^-1/2 cdot B^1/2 = k cdot raizBrho e na expressão inicial:
Como estamos usando apenas análise dimensional, a constante é geralmente assumida como 1.

Resposta

A velocidade das ondas no fluido é dada por .

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