Usando apenas análise dimensional, mostre como a velocidade
das ondas em um fluido depende de sua densidade
, do seu módulo de elasticidade volumétrico
(que tem unidades de pressão, que é força por área).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de análise dimensional juntos! A questão pede para descobrir como a velocidade das ondas
em um fluido depende da densidade
e do módulo de elasticidade volumétrica
. Vamos precisar entender as unidades de cada uma dessas grandezas para encontrar a relação correta entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é análise dimensional. Basicamente, ela nos ajuda a descobrir como diferentes grandezas físicas estão relacionadas apenas olhando para suas unidades. Não precisamos conhecer as constantes exatas, só as dimensões envolvidas.
Passo 3
Vamos listar as unidades de cada grandeza:
- Velocidade
: Tem unidades de distância sobre tempo, ou seja, . - Densidade
: É massa por volume, então . - Módulo de elasticidade volumétrica
: É uma pressão, que é força por área. A força tem unidades de massa vezes aceleração ( ), então .
Passo 4
Queremos encontrar uma relação onde
depende de
e
. Vamos supor que
é igual a
e
elevados a algumas potências desconhecidas:
Onde
é uma constante adimensional e
,
são os expoentes que precisamos encontrar.
Passo 5
Agora, vamos substituir as unidades na equação:
Simplificando:
Passo 6
Para que as duas partes da equação sejam iguais, as potências de cada unidade devem ser iguais nos dois lados. Então, temos o sistema de equações:
- Para
: - Para
: - Para
:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da terceira equação:
⇒
Substituindo
na primeira equação:
⇒
Passo 8
Agora, substituímos os valores de
e
na expressão inicial:
Como estamos usando apenas análise dimensional, a constante
é geralmente assumida como 1.
Resposta
A velocidade das ondas no fluido é dada por
.