Usando artifícios matemáticos, resolver os limites:
lim x 3 x^3-27x^2-9

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 3 para a expressão . Vamos usar conceitos de limites e fatoração para resolver isso. Precisamos saber como fatorar polinômios e simplificar expressões antes de calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 3^3 - 273^2 - 9 = 27 - 279 - 9 = 00 diretamente na expressão:
Aí temos uma indeterminação do tipo , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador. O numerador x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9) é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada da seguinte forma:
x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)
O denominador é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^3 - 27x^2 - 9 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x - 3)(x + 3)
Agora, podemos cancelar o fator comum (x - 3)(x^2 + 3x + 9)(x - 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 9x + 3 no numerador e denominador:

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo 3^2 + 3 cdot 3 + 93 + 3 = 9 + 9 + 96 = 276 = 92 :

Resposta

92

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