Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir: 1/x = cos(arcsec(x)), x in (0, pi/2).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa provar uma identidade trigonométrica que relaciona a função cosseno com a função arcsecante. O conteúdo principal aqui são funções trigonométricas e identidades trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber o que são as funções inversas trigonométricas e como elas se relacionam com as funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a função arcsecante, denotada por . A função retorna um ângulo cujo secante é x. Ou seja, se , então .

Passo 3

Sabemos que é o inverso de , ou seja, . Então, se , podemos escrever:

Passo 4

Queremos expressar em termos de x. Se rearranjarmos a equação acima, temos:

Passo 5

Lembrando que , podemos substituir de volta na equação:

Resposta

A identidade está comprovada:

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