Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir: .

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a identidade trigonométrica e queremos provar que ela é verdadeira, assumindo que . Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções trigonométricas básicas, especialmente as relações entre seno, cosseno, cotangente e secante.

Passo 2

Vamos começar lembrando que é a função cosecante, que é o inverso do seno. Ou seja:
Portanto, será:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a cotangente é definida como o cosseno sobre o seno:
Então, será:

Passo 4

Vamos substituir na identidade que queremos provar:
Para somar 1 com a fração, precisamos ter o mesmo denominador:
Portanto:

Passo 5

Sabemos que, pela identidade pitagórica básica das funções trigonométricas:
Substituindo na expressão anterior:

Passo 6

Observamos que é exatamente , conforme vimos no Passo 2. Portanto, concluímos que:

Resposta

Assim, mostramos que , desde que .

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