Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir:
.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a identidade trigonométrica
e queremos provar que ela é verdadeira, assumindo que
. Para isso, vamos usar conhecimentos sobre funções trigonométricas básicas, especialmente as relações entre seno, cosseno, cotangente e secante.
Passo 2
Vamos começar lembrando que
é a função cosecante, que é o inverso do seno. Ou seja:
Portanto,
será:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a cotangente é definida como o cosseno sobre o seno:
Então,
será:
Passo 4
Vamos substituir
na identidade que queremos provar:
Para somar 1 com a fração, precisamos ter o mesmo denominador:
Portanto:
Passo 5
Sabemos que, pela identidade pitagórica básica das funções trigonométricas:
Substituindo na expressão anterior:
Passo 6
Observamos que
é exatamente
, conforme vimos no Passo 2. Portanto, concluímos que:
Resposta
Assim, mostramos que
, desde que
.
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Usando seus conhecimentos de funções trigonométricas mostre as identidades a seguir:
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Usando seus conhecimentos sobre cálculo de limites, calcule os limites a seguir:
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Conhecendo o limite fundamental
, calcule os limites a seguir:
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Usando seus conhecimentos sobre cálculo de limites, calcule os limites a seguir:
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