Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função
é uma solução da equação de Laplace, que é dada por
. Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
e
, somá-las e ver se o resultado é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
A função é
.
A primeira derivada em relação a
é:
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a
:
Já que a derivada de uma constante (neste caso,
em relação a
) é zero.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
A função continua sendo
.
A primeira derivada em relação a
é:
Em seguida, calculamos a segunda derivada em relação a
:
Novamente, a derivada de uma constante (neste caso,
em relação a
) é zero.
Passo 4
Agora, vamos somar as segundas derivadas que calculamos:
Conforme a equação de Laplace, se a soma das segundas derivadas for igual a zero, a função é uma solução da equação.
Resposta
Como
, a função
é uma solução da equação de Laplace.
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Determine as contrapositivas das seguintes sentenças. Empregue os mesmos modelos de apresentação para escrever cada contrapositiva. A condição
é suficiente para
e
) ou
e
).
Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Se o número de Mersenne
for primo, então, necessariamente, n deve ser primo. Dica: nos argumentos você deve usar a decomposição
pertencente aos N .
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace
.
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas
, para alguma escolha conveniente de
.