Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a função é uma solução da equação de Laplace, que é dada por . Para isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a e , somá-las e ver se o resultado é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a .
A função é .
A primeira derivada em relação a é:
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a :
Já que a derivada de uma constante (neste caso, em relação a ) é zero.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a .
A função continua sendo .
A primeira derivada em relação a é:
Em seguida, calculamos a segunda derivada em relação a :
Novamente, a derivada de uma constante (neste caso, em relação a ) é zero.

Passo 4

Agora, vamos somar as segundas derivadas que calculamos:
Conforme a equação de Laplace, se a soma das segundas derivadas for igual a zero, a função é uma solução da equação.

Resposta

Como , a função é uma solução da equação de Laplace.

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Usando a contrapositiva, demonstre cada resultado a seguir: Se o número de Mersenne for primo, então, necessariamente, n deve ser primo. Dica: nos argumentos você deve usar a decomposição pertencente aos N .
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação de Laplace .
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da equação das ondas , para alguma escolha conveniente de .