Usando coordenadas polares, determine o volume do solido delimitado pelo plano e pelo paraboloide .

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar o volume do sólido limitado pelo plano (onde ) e pelo paraboloide usando coordenadas polares. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que vamos integrar. O paraboloide intercepta o plano quando . Então, resolvendo , temos:
Isso representa um círculo de raio no plano .

Passo 3

Agora, vamos converter as equações para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do paraboloide, ficamos com:

Passo 4

O volume pode ser calculado usando uma integral tripla em coordenadas polares. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é o fator de Jacobiano que aparece na mudança para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a :
Calculando os limites:

Passo 7

Por fim, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

  1. Calcule as integrais abaixo.
    a)
    b)
    c)
    e)
    f)
    g)
    h)
    i)
    j)
    k)
O jardim da casa de José tem o formato circular com 5 m de diâmetro. Para cercá-lo, ele precisou dar 4 voltas, em torno do jardim, com o arame esticado e preso a estacas de madeira. A quantidade mínima de arame que José usou para cercar esse jardim foi de: (Adote: )
b)
Dona Sônia aplicou uma renda no contorno de uma toalha de mesa retangular com largura e comprimento medindo, respectivamente, e . A quantidade mínima de renda que Dona Sônia utilizou para esse trabalho foi:
d)
Expanda as expressões.
.