Usando coordenadas polares, determine o volume do solido delimitado pelo plano e pelo paraboloide .
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar o volume do sólido limitado pelo plano (onde ) e pelo paraboloide usando coordenadas polares. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares e integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que vamos integrar. O paraboloide intercepta o plano quando . Então, resolvendo , temos:
Isso representa um círculo de raio no plano .
Passo 3
Agora, vamos converter as equações para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do paraboloide, ficamos com:
Passo 4
O volume pode ser calculado usando uma integral tripla em coordenadas polares. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é o fator de Jacobiano que aparece na mudança para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :