1,5 Usando coordenadas polares, determine o volume do solido delimitado pelo plano x y e pelo paraboloide z = 16 - x^2 - y^2.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos encontrar o volume do sólido limitado pelo plano xy (onde ) e pelo paraboloide usando coordenadas polares. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo em coordenadas polares e integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região que vamos integrar. O paraboloide intercepta o plano xy quando . Então, resolvendo , temos:
Isso representa um círculo de raio no plano xy.

Passo 3

Agora, vamos converter as equações para coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos:
Substituindo na equação do paraboloide, ficamos com:

Passo 4

O volume pode ser calculado usando uma integral tripla em coordenadas polares. A fórmula geral para o volume é:
Aqui, é o fator de Jacobiano que aparece na mudança para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a :
Substituindo na integral, temos:

Passo 6

Agora, resolvemos a integral em relação a :
Calculando os limites:

Passo 7

Por fim, resolvemos a integral em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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