Usando o critério da comparação, determine se é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o critério da comparação para descobrir se a série infinita
é convergente ou divergente. Isso vai envolver comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o critério da comparação. Basicamente, a gente compara os termos da série em questão com os termos de outra série conhecida. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série comparadora e a série comparadora converge, então a nossa também converge. O contrário vale para divergência.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série:
Para facilitar a comparação, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador, pois eles vão determinar o comportamento da fração quando
tende ao infinito.
No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
. Então, para valores grandes de
, podemos simplificar aproximando
por:
Passo 4
Agora, vamos escolher uma série comparadora. A expressão simplificada
sugere que a gente compare com a série
, conhecida como série p. Sabemos que a série p converge se
.
Aqui,
, que é maior que 1, então a série comparadora
converge.
Passo 5
Como nossos termos
são aproximadamente
e isso é menor que a série comparadora que converge, pelo critério da comparação, a nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.