Usando o critério da comparação, determine se é convergente ou divergente:
sumk=0^infty 2 k^6-4 k^5+3 k-63 k^9+2 k^2-2 k+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o critério da comparação para descobrir se a série infinita
sumk=0^infty 2 k^6-4 k^5+3 k-63 k^9+2 k^2-2 k+1
é convergente ou divergente. Isso vai envolver comparar essa série com outra que a gente já sabe se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o critério da comparação. Basicamente, a gente compara os termos da série em questão com os termos de outra série conhecida. Se os termos da nossa série forem menores ou iguais aos da série comparadora e a série comparadora converge, então a nossa também converge. O contrário vale para divergência.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série:
ak = 2 k^6-4 k^5+3 k-63 k^9+2 k^2-2 k+1
Para facilitar a comparação, vamos identificar os termos de maior grau no numerador e no denominador, pois eles vão determinar o comportamento da fração quando ak approx 2k^63k^9 = 23 cdot 1k^3 tende ao infinito.
No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é . Então, para valores grandes de , podemos simplificar aproximando por:

Passo 4

Agora, vamos escolher uma série comparadora. A expressão simplificada sugere que a gente compare com a série , conhecida como série p. Sabemos que a série p converge se .
Aqui, , que é maior que 1, então a série comparadora converge.

Passo 5

Como nossos termos são aproximadamente e isso é menor que a série comparadora que converge, pelo critério da comparação, a nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

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