Usando o critério da razão, determine a convergência ou divergência de:
sumk=0^infty 3^k+k2^k+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério da Razão para descobrir se a série converge ou diverge. Basicamente, o Critério da Razão ajuda a entender o comportamento de séries infinitas ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como aplicar o Critério da Razão. A ideia é calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
onde .

Passo 3

Vamos substituir ak+1ak = 3^k+1 + (k+1)2^k+1+13^k +k2^k+1 = 3^k+1 + (k+1)2^k+1+1 times 2^k+13^k +k e na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, note que 3 cdot 3^k + (k+1)2 cdot 2^k +1 times 2^k+13^k +k e . Substituindo isso, temos:

Passo 5

Agora, vamos dividir cada termo pelo maior termo exponencial para simplificar o limite. Para grandes valores de 3 cdot 3^k2 cdot 2^k times 2^k3^k = 3 cdot 3^k cdot 2^k2 cdot 2^k cdot 3^k = 32 , os termos e dominam:

Passo 6

Então, o limite L = limk to infty 32 = 32 fica:

Passo 7

De acordo com o Critério da Razão:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o critério é inconclusivo.
No nosso caso, , então a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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