Usando o critério da razão, determine a convergência ou divergência de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Critério da Razão para descobrir se a série converge ou diverge. Basicamente, o Critério da Razão ajuda a entender o comportamento de séries infinitas ao analisar o limite da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como aplicar o Critério da Razão. A ideia é calcular o limite:
onde .
Passo 3
Vamos substituir ak+1ak = 3^k+1 + (k+1)2^k+1+13^k +k2^k+1 = 3^k+1 + (k+1)2^k+1+1 times 2^k+13^k +k e na fórmula:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, note que 3 cdot 3^k + (k+1)2 cdot 2^k +1 times 2^k+13^k +k e . Substituindo isso, temos:
Passo 5
Agora, vamos dividir cada termo pelo maior termo exponencial para simplificar o limite. Para grandes valores de 3 cdot 3^k2 cdot 2^k times 2^k3^k = 3 cdot 3^k cdot 2^k2 cdot 2^k cdot 3^k = 32 , os termos e dominam: