Usando o critério da comparação, mostre a convergência de:
Passo 1
Vamos entender o que a gente precisa fazer! Temos a série infinita
e nosso objetivo é mostrar que ela converge usando o Critério da Comparação. Para isso, vamos precisar comparar os termos dessa série com os termos de outra série que já sabemos que converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da nossa série, que é
. Aqui,
é o logaritmo natural de
e
é
ao quadrado. Conforme
aumenta, tanto
quanto
crescem, mas a maneira como eles crescem é diferente.
Passo 3
Sabemos que a série
é uma série p com
e ela converge porque
. Vamos usar essa série como comparação.
Passo 4
Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que
cresce mais devagar que qualquer potência de
. De fato, para valores maiores de
,
é menor que
. Então, podemos escrever:
A série
também é uma série p com
e, portanto, converge.
Resposta
Como
e a série
converge, pelo Critério da Comparação, concluímos que a série
converge.