Usando o critério da comparação, mostre a convergência de:
sumk=1^infty ln kk^2

Passo 1

Vamos entender o que a gente precisa fazer! Temos a série infinita e nosso objetivo é mostrar que ela converge usando o Critério da Comparação. Para isso, vamos precisar comparar os termos dessa série com os termos de outra série que já sabemos que converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no termo geral da nossa série, que é . Aqui, é o logaritmo natural de e é ao quadrado. Conforme aumenta, tanto quanto crescem, mas a maneira como eles crescem é diferente.

Passo 3

Sabemos que a série é uma série p com e ela converge porque . Vamos usar essa série como comparação.

Passo 4

Agora, vamos comparar os termos das duas séries. Observamos que ln kk^2 <= k^1/2k^2 = 1k^3/2 cresce mais devagar que qualquer potência de . De fato, para valores maiores de , é menor que . Então, podemos escrever:
A série também é uma série p com e, portanto, converge.

Resposta

Como e a série converge, pelo Critério da Comparação, concluímos que a série converge.

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