Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
sumk=0^infty 2 k+1k^2-3 k-4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série infinita
sumk=0^infty 2k + 1k^2 - 3k - 4
diverge, utilizando o Critério da Comparação. Vamos precisar entender como comparar termos dessa série com outra série conhecida para chegar à conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a comparação. Olhando para o numerador e denominador:
2k + 1k^2 - 3k - 4
Quando 2kk^2 = 2k cresce, os termos de maior grau dominam. Então, para grande, temos aproximadamente:
Isso significa que, para valores grandes de , o termo da nossa série se comporta como .

Passo 3

Agora, vamos lembrar de uma série que conhecemos bem: a série harmônica
sumk=1^infty 1k
Sabemos que essa série diverge, ou seja, ela não tem soma finita.

Passo 4

O próximo passo é usar o Critério da Comparação. Esse critério diz que se os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos de uma série divergente conhecida, então a nossa série também diverge.
No nosso caso, para 2k >= 1k suficiente grande, temos:
Como é igual a 2 vezes , claramente é maior que .

Passo 5

Aplicando o Critério da Comparação:
sumk=0^infty 2k + 1k^2 - 3k - 4 >= sumk=K^infty 2k
onde é um número natural suficientemente grande para que a desigualdade seja válida.
Como a série da direita, , é basicamente a série harmônica multiplicada por 2, que sabemos que diverge, então pela comparação, a nossa série original também diverge.

Resposta

A série
sumk=0^infty 2k + 1k^2 - 3k - 4
diverge pelo Critério da Comparação.

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