Usando o critério da comparação, mostre a divergência de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série infinita
diverge, utilizando o Critério da Comparação. Vamos precisar entender como comparar termos dessa série com outra série conhecida para chegar à conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para facilitar a comparação. Olhando para o numerador e denominador:
Quando
cresce, os termos de maior grau dominam. Então, para
grande, temos aproximadamente:
Isso significa que, para valores grandes de
, o termo da nossa série se comporta como
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar de uma série que conhecemos bem: a série harmônica
Sabemos que essa série diverge, ou seja, ela não tem soma finita.
Passo 4
O próximo passo é usar o Critério da Comparação. Esse critério diz que se os termos da nossa série são maiores ou iguais aos termos de uma série divergente conhecida, então a nossa série também diverge.
No nosso caso, para
suficiente grande, temos:
Como
é igual a 2 vezes
, claramente
é maior que
.
Passo 5
Aplicando o Critério da Comparação:
onde
é um número natural suficientemente grande para que a desigualdade seja válida.
Como a série da direita,
, é basicamente a série harmônica multiplicada por 2, que sabemos que diverge, então pela comparação, a nossa série original também diverge.
Resposta
A série
diverge pelo Critério da Comparação.