Usando o critério para série alternada, mostre a convergência de:
sumk=2^infty (-1)^k 2^k k(k+1) e^k+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra gente usar o critério da série alternada para mostrar que a série converge. Então, vamos precisar entender o que é uma série alternada, qual é o critério para ela convergir e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte alternada da série. Nessa expressão, o termo é responsável pela alternância dos sinais da série. Isso significa que a série oscila entre termos positivos e negativos.

Passo 3

Agora, vamos focar nos termos positivos da série, que é . O critério da série alternada diz que, para a série convergir, dois requisitos devem ser atendidos:
  1. Os devem ser decrescentes, ou seja, .
  2. O limite de quando tende ao infinito deve ser zero, .

Passo 4

Vamos verificar se os são decrescentes. Observando a expressão, à medida que aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador devido ao , que cresce exponencialmente. Isso faz com que , atendendo à primeira condição.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limk to infty 2^k k(k+1) e^k+1 = limk to infty 2^k k(k+1) e^k e = 1e limk to infty 2^k k(k+1) e^k quando tende ao infinito:
Sabemos que . Como (já que ), tende a zero quando tende ao infinito. Portanto, o limite total é zero, satisfazendo a segunda condição.

Resposta

Como os termos positivos da série são decrescentes e o limite deles tende a zero, a série converge pelo critério das séries alternadas.

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