Usando o critério para série alternada, mostre a convergência de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra gente usar o critério da série alternada para mostrar que a série
converge. Então, vamos precisar entender o que é uma série alternada, qual é o critério para ela convergir e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte alternada da série. Nessa expressão, o termo
é responsável pela alternância dos sinais da série. Isso significa que a série oscila entre termos positivos e negativos.
Passo 3
Agora, vamos focar nos termos positivos da série, que é
. O critério da série alternada diz que, para a série
convergir, dois requisitos devem ser atendidos:
- Os
devem ser decrescentes, ou seja, . - O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero, .
Passo 4
Vamos verificar se os
são decrescentes. Observando a expressão, à medida que
aumenta, o denominador cresce mais rapidamente que o numerador devido ao
, que cresce exponencialmente. Isso faz com que
, atendendo à primeira condição.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
. Como
(já que
),
tende a zero quando
tende ao infinito. Portanto, o limite total é zero, satisfazendo a segunda condição.
Resposta
Como os termos positivos da série são decrescentes e o limite deles tende a zero, a série
converge pelo critério das séries alternadas.