Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(g) sumn=1^infty sen n2^n+n^2

Passo 1

Vamos analisar o exercício que nos foi dado: determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste de Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série de referência conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os componentes da nossa série. O termo geral da série é .
  • Numerador ( ): A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de , ou seja, .
  • Denominador ( ): Aqui, temos duas partes: cresce exponencialmente com , enquanto cresce polinomialmente. À medida que aumenta, domina , tornando o denominador muito grande.

Passo 3

Vamos comparar nossa série com a série geométrica | sen,n2^n + n^2 | <= 12^n , que sabemos ser convergente porque é uma série geométrica com razão .
Observamos que:
Isso ocorre porque e .

Passo 4

Aplicando o Teste de Comparação, já que a série é convergente e para todo , podemos concluir que a série original também é convergente.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados

Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(d) sumn=1^infty e^-n / 2
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(a) sumn=1^infty 1n 2^n
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(i) sumn=1^infty(7 n+38 n+9)^n
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(k) sumn=1^infty (-2)^n n3^n