Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(g)
Passo 1
Vamos analisar o exercício que nos foi dado: determinar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos utilizar o Teste de Comparação, que nos ajuda a comparar a série em questão com outra série de referência conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os componentes da nossa série. O termo geral da série é .
Numerador (): A função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de , ou seja, .
Denominador (): Aqui, temos duas partes: cresce exponencialmente com , enquanto cresce polinomialmente. À medida que aumenta, domina , tornando o denominador muito grande.
Passo 3
Vamos comparar nossa série com a série geométrica , que sabemos ser convergente porque é uma série geométrica com razão .
Observamos que:
Isso ocorre porque e .
Passo 4
Aplicando o Teste de Comparação, já que a série é convergente e para todo , podemos concluir que a série original também é convergente.