Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar um critério de convergência de séries. Vamos precisar entender o comportamento geral dos termos da série à medida que
cresce.
Passo 2
Primeiro, observamos que a série é uma série infinita cujo termo geral é
. Para analisar a convergência, podemos simplificar esse termo para entender melhor como ele se comporta quando
fica muito grande.
Passo 3
Vamos simplificar o termo
. Quando
é grande, os termos de menor grau (como
e
) têm pouca influência, então podemos aproximar:
Isso sugere que, para grandes valores de
, cada termo da série é aproximadamente
.
Passo 4
Agora, usamos o Critério da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série quando
tende ao infinito não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:
Passo 5
Como o limite do termo geral é
, que é diferente de zero, de acordo com o Critério da Divergência, a série não converge.
Resposta
A série
diverge.
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(h)
(h)
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(b)
(b)
Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(b)
(b)
Usando o método de separação de variáveis, com
, prove que