Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(l) sumn=1^infty n^23 n^2+8 n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar um critério de convergência de séries. Vamos precisar entender o comportamento geral dos termos da série à medida que cresce.

Passo 2

Primeiro, observamos que a série é uma série infinita cujo termo geral é . Para analisar a convergência, podemos simplificar esse termo para entender melhor como ele se comporta quando fica muito grande.

Passo 3

Vamos simplificar o termo n^23n^2+8n+1 approx n^23n^2 = 13 . Quando é grande, os termos de menor grau (como e ) têm pouca influência, então podemos aproximar:
Isso sugere que, para grandes valores de , cada termo da série é aproximadamente .

Passo 4

Agora, usamos o Critério da Divergência, que diz que se o limite do termo geral da série quando limn to infty n^23n^2+8n+1 = limn to infty 13 + 8n + 1n^2 = 13 + 0 + 0 = 13 tende ao infinito não for zero, a série diverge. Vamos calcular esse limite:

Passo 5

Como o limite do termo geral é , que é diferente de zero, de acordo com o Critério da Divergência, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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