Usando o método de separação de variáveis, com u(x, t) = X(x) * T(t), prove que
T''(t)/T(t) + 1 = 4 X''(x)/X(x) = sigma

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com o método de separação de variáveis, assumindo que a função pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de , ou seja, . Precisamos usar essa forma para provar a igualdade dada envolvendo as derivadas de e .

Passo 2

Começamos substituindo nas equações diferenciais que regem o problema. Vamos calcular as derivadas de em relação a e a .

Passo 3

Calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

Calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, dividimos por e acrescentamos 1:

Passo 6

Fazemos o mesmo para :

Passo 7

De acordo com o método de separação de variáveis, essas duas expressões devem ser iguais a uma constante :

Resposta

Assim, provamos que .

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