Usando o método de separação de variáveis, com u(x, t) = X(x) * T(t), prove que
T''(t)/T(t) + 1 = 4 X''(x)/X(x) = sigma

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com o método de separação de variáveis, assumindo que a função pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de e outra que depende apenas de , ou seja, . Precisamos usar essa forma para provar a igualdade dada envolvendo as derivadas de e .

Passo 2

Começamos substituindo nas equações diferenciais que regem o problema. Vamos calcular as derivadas de em relação a e a .

Passo 3

Calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 4

Calculamos a segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Agora, dividimos por e acrescentamos 1:

Passo 6

Fazemos o mesmo para :

Passo 7

De acordo com o método de separação de variáveis, essas duas expressões devem ser iguais a uma constante :

Resposta

Assim, provamos que .

Exercícios relacionados

Em cada item, é dado o termo geral da sequência a_n. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(b) 1/n!
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(l) sumn=1^infty n^23 n^2+8 n+1
A parametrização da superfície dada pelo plano z = 5 que está contido no interior do cilindro x^2 + y^2 = 16 é dada por r(u, v) = (u cos(v), u sen(v), 5), em que 0 <= v <= 2 pi e 0 <= u <= 4.
Verdadeiro Falso
A parametrização da superfície dada pelo cilindro circular reto x^2 + z^2 = 1, que está limitado pelos planos y = -1 e y = 3 é dada por r(y, theta) = (cos(theta), y, sen(theta)), 0 <= theta <= 2 pi e -1 <= y <= 3
Verdadeiro Falso