Usando o método de separação de variáveis, com
, prove que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Estamos trabalhando com o método de separação de variáveis, assumindo que a função
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende apenas de
e outra que depende apenas de
, ou seja,
. Precisamos usar essa forma para provar a igualdade dada envolvendo as derivadas de
e
.
Passo 2
Começamos substituindo
nas equações diferenciais que regem o problema. Vamos calcular as derivadas de
em relação a
e a
.
Passo 3
Calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Calculamos a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, dividimos
por
e acrescentamos 1:
Passo 6
Fazemos o mesmo para
:
Passo 7
De acordo com o método de separação de variáveis, essas duas expressões devem ser iguais a uma constante
:
Resposta
Assim, provamos que
.
Exercícios relacionados
Em cada item, é dado o termo geral da sequência
. Diga se a sequência é convergente ou divergente. Se ela for convergente, calcule o limite.
(b)
(b)
Usando um critério de sua escolha, determine se a série dada é convergente ou divergente:
(l)
(l)
A parametrização da superfície dada pelo plano
que está contido no interior do cilindro
é dada por
, em que
e
.
Verdadeiro Falso
Verdadeiro Falso
A parametrização da superfície dada pelo cilindro circular reto
, que está limitado pelos planos
e
é dada por
Verdadeiro Falso
Verdadeiro Falso